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Musterlösung d

Retinal-Molekül
Besetzung der Energieniveaus im Grundzustand des Moleküls

Vorüberlegung

Wir haben insgesamt 12 (quasi) frei Elektronen, die sich entlang des Moleküls wie in einem Potentialtopf bewegen. Man könnte vielleicht auf die Idee kommen, dass im Grundzustand alle 12 Elektronen das Energieniveau $E_1$ besetzen. Doch das ist so nicht richtig.

Merke

Für Elektronen gilt das Pauli-Prinzip:

2 Elektronen müssen sich in mindestens einer Quantenzahl unterscheiden.

Quantenzahlen, die hier zur Verfügung stehen:

  • $n$ zum Energieniveau $E_n$
  • $s$ der Spin (den jedes (auch freie) Elektron hat) ($s=+\frac{1}{2}$ oder $s=-\frac{1}{2}$)

Hinweis:

Du solltest den Spin als Quantenzahl in der Quantenmechanik niemals vergessen! Er ist eine intrinsische (innere) Größe, die jedes Teilchen (egal ob frei oder gebunden) hat.

Grundzustand des Retinal-Moleküls

Aus den obigen Überlegungen können wir nun den Grundzustand des Moleküls ganz einfach herleiten.

Das 1. Elektron besetzt das Energielevel $E_1$ und hat dabei einen bestimmten Spin. Das 2. Elektron, welches auch $E_1$ besetzen kann, muss nach dem Pauli-Prinzip genau den umgekehrten Spin haben.

Das 3. Elektron kann das Energielevel $E_1$ nicht mehr besetzen, weil der Spin mit einem der bereits vorhandenen Elektronen identisch wäre. Daher besetzt das 3. Elektron das Energieniveau $E_2$. usw.

Die Konstruktion läuft für die weiteren Elektronen analog ab.

Ergebnis:

Zwei Elektronen besetzen ein Energielevel maximal. Insgesamt hat man 12 Elektronen, die dann 6 Energielevel besetzen. Da man im Grundzustand (Zustand minimaler Energie) ist, sind dies die Level $E_1$ bis $E_6$.

Quantenzahlen des Grundzustandes:

Hauptquantenzahl $n$ 1 2 3 4 5 6
Spin $s$

+$\frac{1}{2}$

-$\frac{1}{2}$

+$\frac{1}{2}$

-$\frac{1}{2}$

+$\frac{1}{2}$

-$\frac{1}{2}$

+$\frac{1}{2}$

-$\frac{1}{2}$

+$\frac{1}{2}$

-$\frac{1}{2}$

+$\frac{1}{2}$

-$\frac{1}{2}$

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