Musterlösung b

Berechnung der Energieniveaus $E_n$

Für ein Teilchen gibt es einen Zusammenhang zwischen seinem Impuls $p$ und der Wellenlänge $\lambda$ im Wellenbild.

$p=\frac{h}{\lambda}$ (De-Broglie-Relation)

Aus der in der Aufgabenstellung angegeben Wellenlänge $\lambda_n$ bekommt man die diskreten Impulse $p_n$

$\Rightarrow p_n=\frac{h}{\lambda_n}=\frac{h}{2\cdot l}n$.

Nun braucht man die Formel für die kinetische Energie $E_{kin}=\frac{p^2}{2m}$.

$\Rightarrow E_{kin, n}=\frac{p_n^2}{2m}=\frac{h^2}{8ml^2}n^2$

Die gesamte Energie berechnet sich allgemein aus der Beziehung $E_n=E_{kin,n}+E_{pot}$ (Summe aus kinetischer und potentieller Energie); wobei im Potentialtopf $E_{pot}=0$ ist. Also

$E_n=\frac{h^2}{8ml^2}n^2$