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Musterlösung a

Retinal-Molekül
Quantenphysikalische Grundlagen

Vorüberlegung

Man kann die diskreten Energien prognostizieren, wenn man sich die quantenmechanischen Grundlagen vor Augen führt. Demnach wird das Elektron im Potentialtopf durch die Wellenfunktion $\Psi$ beschrieben. Damit gelangt man zu den folgenden Resultaten

Prognose diskreter Energie (ohne Rechnung)

Die Wellenfunktion verhält sich hier analog einer stehenden Welle, die an den Wänden des unendlich hohen Potentialtopfs verschwinden muss (sie hat dort Schwingungsknoten, weil das Elektron nicht aus dem Topf entkommen kann.)

Anschaulich gesprochen führt diese Randbedingung dazu, dass nur ganz bestimmte Formen der Wellenfunktion erlaubt sind (vgl. mit eingespannter Saite/ stehender Welle). Damit sind auch nur ganz bestimmte (diskrete) Wellenlängen $\lambda$ und somit auch diskrete Impulse $p$ erlaubt (De-Broglie-Relation). Kurz:

Randbedingungen am Potentialtopf------> diskrete Wellenlänge------>diskreter Impuls------->diskrete Energie

Hinweise:

  1. Hilfreich an dieser Stelle ist es, sich an die Beziehung $l=n\cdot\frac{\lambda}{2}$ bei einer stehenden Welle zu erinnern.
  2. Man beachte, dass die diskrete (kinetische) Energie mathematisch streng genommen dann aus der Gleichung $E_{kin}=\frac{p^2}{2m}$ folgt.

Die Energie des Grundzustandes ist nicht Null

Angenommen, der Grundzustand hätte die Energie Null. Dann wäre der Impuls $p=0$. Dies führt dann aber zu der widersprüchlichen Aussage, dass es gar kein Elektron im Potentialtopf gibt. Denn in diesem Fall würde die Wellenfunktion $\Psi$ identisch verschwinden.

(siehe auch Kursinhalte aus dem Modul Atomphysik)

Hinweis/Bemerkung:

Die Existenz dieser Nullpunktsenergie ist ein Garant für die Stabilität von Atomen.

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