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Musterlösung c

Retinal-Molekül
Quantenzahlen und Wahrscheinlichkeitsdichte

Im Prinzip gibt es bei dieser Aufgabe 2 Methoden, die man zur Lösung nutzen kann. Du kannst dich je nach Typ für eine der beiden Methoden entscheiden.

Anschauliche Methode

Man nutzt die Tatsache $l=n\cdot \frac{\lambda}{2}$, die man von einer stehenden Welle her kennt. Dabei ist $\frac{\lambda}{2}$ der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Knoten.

Wenn nun in der Mitte des Potentialtopfs ein Knoten liegen soll (genau dann ist ja auch die Wahrscheinlichkeitsdichte dort Null), dann sind sowohl links und rechts von der Mitte gleich viele Abstände der Größe $\frac{\lambda}{2}$ zu finden. Wenn nun die Zahl $k$ die Anzahl dieser Abstände linksseitig bezeichnet, dann hat man ja insgesamt auf die Länge $l$ bezogen

$k\cdot \frac{\lambda}{2}+k\cdot \frac{\lambda}{2}=(2k)\cdot \frac{\lambda}{2}=l$.

Vergleicht man das mit der obigen Beziehung, dann folgt

$n=2k$ (n=2, 4, 6, ...)

Nur für gerade Zahlen $n$ liegt in der Mitte ein Knoten vor.

Hinweis:

Man mache sich das auch an einer Skizze klar, indem man für unterschiedliche $n$ (gerade und ungerade) einige dieser stehenden Welle im Potentialtopf zeichnet. Dann wird man sehen, dass nur für gerade $n$ ein Knoten in der Mitte vorkommt.

Rechnerische Methode

Diese Methode kann von denen genutzt werden, die die genau mathematische Form $\Psi_n(x)$ der Welle kennen. (wie auch im Kurs enthalten)

$\Psi_n(x)=A\cdot \sin{(\frac{n\pi}{l}x)}$

Dabei ist $A$ eine nicht näher zu bezeichnende Konstante. (zur Lösung der Aufgabe nicht relevant)

Ist nun $\Psi_n(x)=0$ an einer Stelle, dann ist ja auch die Wahrscheinlichkeitsdichte dort Null. In der Aufgabe ist nach einer Nullstelle in der Mitte des Potentialtops gefragt. Also für $x=\frac{l}{2}$

$\Psi_n(\frac{l}{2})=A\cdot \sin{(\frac{n\pi}{l}\cdot \frac{l}{2})}=0$

$\Rightarrow \sin{(n\cdot \frac{\pi}{2})}=0$

Nur für gerade Zahlen $n=2k$ (n=2, 4, 6,...) kann diese Gleichung erfüllt werden. Es handelt sich ja um die Nullstellen einer Sinusfunktion.

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