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Musterlösung e

Retinal-Molekül
Wellenlänge einer Absorptionslinie

Vorüberlegung

Aus der Atom- und Quantenphysik wissen wir, dass Übergänge vom Grundzustand eines Atoms oder Moleküls in angeregte Zustände mit der Absorption von Photonen bestimmter Frequenz $f$ bzw. Energie $h\cdot f$ verbunden sind.

Unser Retinal-Molekül muss also ein Photon bestimmter Energie $h\cdot f$ aufnehmen, um in den ersten Anregungszustand zu gelangen.

$E_G$: Energie des Grundzustandes des Retinal-Moleküls

$E_{A1}$: Energie des ersten Anregungszustandes

Die entscheidende Gleichung (quasi die Bilanzgleichung der Energien) lautet nun

$E_{A1}-E_G=h\cdot f$           (1)

Berechnungen

Wir müssen nun die Werte für die beiden Energien kennen und können die Wellenlänge bestimmen.

Energie des Grundzustandes

Aus Teilaufgabe d weiss man, dass im Grundzustand die 12 Elektronen die Energielevel $E_1$ bis $E_6$ besetzen; 2 Elektronen pro Energielevel. Man muss die Energien lediglich addieren, um die Energie des Grundzustandes des Moleküls zu erhalten.

$E_G=2(E_1+E_2+E_3+E_4+E_5+E_6)$

Energie des ersten Anregungszustandes

Der erste Anregungszustand ist genau derjenige, der energetisch am nächsten zum Grundzustand ist. Man erhält diesen gerade dann, wenn ein Elektron vom Energielevel $E_6$ auf das Energielevel $E_7$ springt.

$E_{A1}=2(E_1+E_2+E_3+E_4+E_5)+E_6+E_7$

Wellenlänge

$\Rightarrow E_{A1}-E_G=E_7-E_6=\frac{h^2}{8ml^2}(7^2-6^2)=\frac{13h^2}{8ml^2}$,

dabei haben wir auf der rechten Seite die hergeleitete Formel für die Energielevel benutzt (Teilaufgabe b). Mit obiger Ausgangsgleichung (1) und $f\cdot \lambda=c$ folgt

$\frac{13h^2}{8ml^2}=h\cdot \frac{c}{\lambda}$

$\Leftrightarrow \lambda=\frac{8\cdot m\cdot c\cdot l^2}{13h}$

Es bleibt lediglich die Daten einzusetzen: $l=1,44 nm$, $c=3\cdot 10^8 m/s$, $m=9,1\cdot 10^{-31} kg$, $h=6,63\cdot 10^{-34} Js$

$\Rightarrow \lambda \approx 5,25\cdot 10^{-7}m=525nm$

Abweichung vom experimentellen Wert: 5%.

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