Ableiten

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

Das Kapitel Ableiten in unserem Online-Kurs Grundlagen der Analysis (Analysis 1) besteht aus folgenden Inhalten:

1. Ableiten

   Ableiten

   

   ... betrachten wir das Ableiten komplexer Funktionen und gehen auf besondere Ableitungen ein. In einer weiteren Lerneinheit schauen wir uns an, wie man Kurvenscharen ableitet. Das Kapitel "Ableiten" schließt mit besonderen Hinweisen für das Ableiten im Abitur.

2. Ableitungsregeln

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   Das Ableiten von Funktionen geschieht nach ganz bestimmten Regeln, je nachdem wie die Ausgangsfunktion aussieht.Das Ableiten von ganzrationalen Funktionen z.B. $f(x)=-4x^3+\frac{2}{3}x-3x^{-2}$ geschieht nach der Potenzregel, der Faktorregel und der Summenregel.Die Produktregel wird angewendet, wenn die Funktion aus dem Produkt von zwei Funktionen besteht z.B. $f(x)=x^2\cdot sinx$.Die Quotientenregel wird verwendet, wenn die Funktion aus einem Quotienten von zwei Funktionen bestehen z.B $f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}$.Sind ...

3. Potenzregel

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   Die wichtigste Regel beim Ableiten ist die Potenzregel.Die Potenzregel besagt: Ist f(x) eine Potenzfunktion $f(x)=x^n$, dann lautet die Ableitungsfunktion $f´(x)=n\cdot x^{n-1}$.n muss dabei keine ganze Zahl sein, sondern kann auch ein Bruch sein.Beispiele:$f(x)=x^3 \to  f´(x)=3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$$f(x)=x^7\to  f´(x)=7\cdot x^{7-1}=7\cdot x^6$$f(x)=x^{-2}\to  f´(x)=-2\cdot x^{-2-1}=-2\cdot x^{-3}$$f(x)=x^{\frac{2}{3}} \to  f´(x)={\frac{2}{3}}\cdot ...

4. Faktorregel

   Ableiten > Ableitungsregeln > Faktorregel

   

   Die Faktorregel besagt:Ist g(x) eine Funktion der Form $g(x)=a\cdot f(x)=a\cdot x^n$, dann lautet die Ableitungsfunktion $g´(x)=a\cdot f´(x)=a\cdot n\cdot x^{n-1}$. D.h. der Faktor bleibt stehen, wird also nicht abgeleitet. Nur die Funktion f(x) wird nach der Potenzregel abgeleitet.Beispiele:$g(x)=2x³=2\cdot f(x)$$g´(x)=2\cdot f´(x)=2\cdot 3\cdot x^{3-1}=6x^2$$g(x)=-3x^7=-3\cdot f(x)$$g´(x)=-3\cdot f´(x)=-3\cdot 7x^6=-21x^6$$g(x)=-5x^{-2}=-5\cdot ...

5. Summenregel

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   Die Summenregel besagt:Ist h(x) eine Funktion der Form $h(x)=g_1(x)+g_2(x)$, dann lautet die Ableitungsfunktion $h´(x)=g´_1(x)+g´_2(x)$. D.h. eine Summe wird abgeleitet, indem jeder Summand einzeln abgeleitet wird. Für Differenzen gilt das selbe.Beispiele:$h(x)=2x^3-3x^7 \to  h´(x)=6\cdot x^2-21\cdot x^6$$h(x)=-5x^{-2}+3x^{\frac{2}{3}} \to  h´(x)=10x^{-3}+2x^{\frac{-1}{3}}$Im folgenden Video werden alle drei Regeln, die Potenzregel, die Faktorregel ...

6. Produktregel

   Ableiten > Ableitungsregeln > Produktregel

   

   Die Produktregel besagt:Ist f(x) eine Funktion der Form $f(x)=u(x)\cdot v(x)$, dann lautet die Ableitungsfunktion $f´(x)=u´(x)\cdot v(x)+u(x) \cdot v´(x) $D.h. besteht die Funktion f(x) aus einem Produkt von zwei Funktionen u und v, ergibt sich die Ableitung mit u´v+uv´.1. Beispiel:$f(x)=2x^3\cdot (3x^7-1)=u\cdot v$$f´(x)=u´v+uv´=6x^2\cdot (3x^7-1)+2x^3\cdot 21x^6=18x^9-6x^2+42x^9=60x^9-6x^2$Einfacher ist hier erst auszumultiplizieren und dann ohne ...

7. Quotientenregel

   Ableiten > Ableitungsregeln > Quotientenregel

   

   Die Quotientenregel besagt:Ist f(x) eine Funktion der Form $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$, dann lautet die Ableitungsfunktion $f´(x)=\frac{u´v-uv´}{v^2}$Das komplizierteste bei der Quotientenregel ist das nachträgliche ausmultiplizieren und zusammenfassen.$f(x)=\frac{x^2}{x+1}=\frac{u(x)}{v(x)}$$f´(x)=\frac{2x\cdot (x+1)-x^2 \cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}$Die Quotientenregel wird in folgenden Video nochmal erläutert.Das Video wird ...

8. Kettenregel

   Ableiten > Ableitungsregeln > Kettenregel

   

   Die Kettenregel besagt:Ist f(x) eine Funktion der Form f(x)=u(v(x)), also eine verkettete Funktion, dann lautet die Ableitungsfunktion $f´(x)=u´(v)\cdot v´(x)=v´(x) \cdot u´(v)$.v(x) ist die innere Funktion, u(v) die äußere FunktionMerkregel für die Kettenregel: innere Ableitung mal äußere AbleitungBeispiel 1$f(x)=(2x^3+5)^3$     innere Funktion $v(x)=2x^3+5\to$ innere Ableitung $v´(x)=6x^2$äußere Funktion $u(v)=v^3\to$ ...

9. Komplexe Funktionen ableiten

   Ableiten > Ableitungsregeln > Komplexe Funktionen ableiten

   

   Die schwierigsten Funktionen sind Funktionen bei denen die Produkt- und die Kettenregel angewendet werden muss. (Die Potenzregel, Faktorregel und Summenregel muss bei fast jeder normalen Funktion angewendet werden.)z.B. $f(x)=(2x³+5)^3\cdot3e^{-x³}$Hier ist es gut, sich die einzelnen Funktionen aufzuschreiben, aus denen die Funktion zusammengesetzt ist, um den Überblick zu behalten.$f(x)=u \cdot v$ mit  $u=(2x³+5)³$ und  $v=3e^{-x³}$nach der Produktregel gilt: ...

10. Sinus, Cosinus, e-Funktion und Logarithmus ableiten

    Ableiten > Ableitungsregeln > Sinus, Cosinus, e-Funktion und Logarithmus ableiten

    

    Die Ableitungen des sin, des cos, der e-Funktion und des Logarithmus müssen entweder auswendig gelernt oder in der Formelsammlung nachgesehen werden.f(x)=sin xf(x)=cos xf(x)=$e^x$f(x)=ln(x)f´(x)=cos xf´(x)=-sin xf´(x)=$e^x$$f´(x)=\frac{1}{x}$Diese Ableitungen werden immer dann benötigt, wenn die Funktion sin x, cos x, $e^x$ oder ln(x) in einem Produkt oder in einer Verkettung vorkommt.Im folgenden Video wird die Ableitung einer Sinusfunktion und die Quotientenregel ...

11. Kurvenscharen ableiten

    Ableiten > Kurvenscharen ableiten

    

    ... das letze a fällt weg, da Zahlen beim Ableiten wegfallen.g(x)=(t-1)$\cdot x^3+t^2$g´(x)=(t-1)$\cdot 3 \cdot x^2$d.h. t² fällt weg, da auch t² nur eine Zahl ist.h(x)=$e^{kx²+1}$  innere Funktion  v(x)=kx²+1 $\to$ v´(x)=2kx,     äußere Funktion u(v)=$e^v$ $\to$ u´(v)=$e^v$h´(x)=v´$\cdot$u´=2kx$\cdot$$e^v$      h´(x)=2kx$\cdot$$e^{kx²+1}$

12. Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen

    Ableiten > Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen

    

    ... in engem Zusammenhang mit dem graphischen Ableiten.Lösung zur Aufgabe (2) 1. TeilDas Video wird geladen...(abituraufgabe-stammfunktion-teilb1-bestimmung-der-nullstellen)Lösung zur Aufgabe (2) 2. TeilDas Video wird geladen...(abituraufgabe-stammfunktion-teilb2-grafische-herleitung-der-ableitungsfunktion)Lösung zur Aufgabe (4)Das Video wird geladen...(abituraufgabe-stammfunktion-teild-grafische-ableitung-eines-sattelpunkts-schaubildaufgabe)