Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

Das Kapitel Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 in unserem Online-Kurs Grundlagen der Analysis (Analysis 1) besteht aus folgenden Inhalten:

  1. Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    bersicht ber die Funktionsuntersuchung
    Hier ist zu sehen, was alles zu einer Funktionsuntersuchung dazugehört. Alle Punkte werden nacheinander behandelt.Im diesem ersten Teil werdender Definitionsbereich, die Symmetrie, die Schnittpunkte mit den Achsen sowie die Extrem- und Wendepunkt behandelt.Übersicht über die FunktionsuntersuchungUm diese Punkte bearbeiten zu können ist es ganz wichtig, dass die Berechnung von Nullstellen und das Ableiten von Funktionen gekonnt werden. Das Berechnen von Nullstellen ...
  2. Definitionsbereich
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Definitionsbereich
    Als Definitionsbereich bezeichnet man den Bereich der x-Werte, in dem die Funktion definiert ist. Er um fasst alle x-Werte, die „erlaubt“ sind. Alle Elemente des Definitionsbereiches werden als Stelle bezeichnet. Bei ganzrationalen Funktionen der Form f(x)=a$x^n$+b$x^{n-1}$+..+gx+h sind immer alle x-Werte erlaubt, daher ist der Definitionsbereich  ID=IR, d.h. der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen. „Unerlaubte“ x-Werte treten bei Brüchen oder Wurzeln ...
  3. Symmetrie
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Symmetrie
    Minimum fr die Funktion f(x)=x2
    Bei der Betrachtung der Symmetrie unterscheiden wir zwei Arten, die Symmetrie zur y-Achse, kurz Achsensymmetrie, und die Drehsymmetrie zum Ursprung (0/0) mit dem Drehwinkel 180°, kurz Punktsymmetrie.AchsensymmetriePunktsymmetrieAchsensymmetrie zur y-AchseAchsensymmetrie bedeutet, dass der Graph spiegelsymmetrisch bzw. achsensymmetrisch zur y-Achse ist.Um die Achsensymmetrie bei einer Funktion zu überprüfen muss festgestellt werden ob:f(-x)=f(x). (Sie wissen nicht wie man auf diese Bedingung ...
  4. Schnittpunkte mit den Achsen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen
    Y-Achsen-Abschnitt
    Bei den Schnittpunkten mit den Achsen handelt es sich einmal um den Y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse) und um die Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse).Schnittpunkt mit der Y-AchseY-AchsenabschnittSchnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle)Nullstelle
  5. y-Achsenabschnitt
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > y-Achsenabschnitt
    Y-Achsen-Abschnitt
    Der Schnittpunkt mit der y-Achse wird auch als y-Achsenabschnitt bezeichnet. Alle Werte, die auf der y-Achse liegen, habe den x-Wert = 0, d.h. ein Punkt auf der y-Achse hat die Koordinaten (0/y0).Jede ganzrationale Funktion hat einen y-Achsenabschnitt y0. Dieser liegt beim Punkt (0/y0).Y-AchsenabschnittDer y-Achsenabschnitt wird berechnet, indem in der Funktion x Null gesetzt wird, d.h. es wird f(0) berechnet.Bei ganzrationalen Funktionen ist der y-Achsenabschnitt die Konstante am Ende der Funktion.f(x)=-x³+2x-1f(0)=-0³+2$\cdot$0-1=-1f(x)=4x²+2xf(0)=4$\cdot$0²+2$\cdot$0=0Ist ...
  6. Nullstellen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > Nullstellen
    Nullstelle
    Der Schnittpunkt mit der x-Achse wird auch als Nullstelle x0 bezeichnet. Alle Werte, die auf der x-Achse liegen, habe den y-Wert = 0, d.h. ein Punkt auf der x-Achse hat die Koordinaten (x0/0).Nicht jede ganzrationale Funktion hat eine Nullstelle.Quadratische Funktion mit NullstelleBerechnung der NullstelleDie Nullstelle wird berechnet, indem in die gesamte Funktion Null gesetzt wird, d.h. die Gleichung f(x)=0 wird nach x umgestellt.f(x)=x²-4=00=x0²-4    ...
  7. Klassifizierung der Nullstellen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > Klassifizierung der Nullstellen
    Kubische Funktion ohne Nullstelle
    Die Nullstellen werden als erstes anhand ihres Grades klassifiziert. Der Grad ist der höchste Exponent der Funktion. Es gibt Funktionen mit ungeradem und geradem Grad. Desweiteren gibt es verschiedene Arten von Nullstellen in Abhängigkeit der Berührung mit der x-Achse (einfache, doppelte, dreifache Nullstellen). Nullstellen bei Funktionen mit ungeradem GradAlle Funktionen, die einen ungeraden Grad n haben wie z. B. x³+x² oder x+2, haben mindestens eine Nullstelle, maximal ...
  8. Extrempunkte
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Extrempunkte
    Minimum fr die Funktion f(x)=x2
    Unter Extrempunkten versteht man Punkte, deren y-Werte minimal am kleinsten oder maximal am größten sind. Dazu gehört der Hochpunkt (Maximum) und der Tiefpunkt (Minimum).Hochpunkt (Maximum) für die Funktion f(x)=-x2Tiefpunkt (Minimum) für die Funktion f(x)=x2Um Extrempunkte berechnen zu können, brauchen Sie folgende grundlegende rechnerischen Fähigkeiten:Nullstellen berechnen (p-q-Formel, Polynomdivision)von einer gegebenen Funktion den y-Wert mit dem x-Wert au...
  9. Bedingungen für Extrempunkte
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Extrempunkte > Bedingungen für Extrempunkte
    Maximum
    Zu den Extrempunkten gehört der Hochpunkt (Maximum, HP, Max) und der Tiefpunkt (Minimum,TP, Min). Hochpunkt sowie Tiefpunkt gehören, neben dem Sattelpunkt, zu den Punkten mit waagerechter Tangente.Berechnung des Hochpunkts und des TiefpunktsDie Berechnung der Extrempunkte erfolgt über zwei Bedingungen.notwendige Bedingung f´(x) = 0hinreichende Bedingung f``(x) > 0 (TP) oder f´´(x) < 0 (HP) Diese Bedingungen können aus den folgenden Abbildungen abgeleitet ...
  10. Berechnung der Extrempunkte
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Extrempunkte > Berechnung der Extrempunkte
    Um die Extrempunkte zu berechnen, müssen Sie folgende Schritte ausführen:die erste und die zweite Ableitung berechnen ($f'(x)$ und $f''(x)$)die erste Ableitung = Null setzen und mit $f´(x)=0$ die Extremstelle $x_E$ berechnen (Gleichung nach x auflösen), d.h. den x-Wert des Extrempunktes berechnenmit $f''(x_E)$ überprüfen, ob der Extrempunkt ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist.Dazu wird die Extremstelle in die zweite Ableitung eingesetzt. Ist $f''(x_E) < 0$ ist der ...
  11. Wendepunkte
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte
    Links-Rechts-Wendepunkt
    Wendepunkte sind die Punkte, an denen sich die Krümmung ändert bzw. wendet. Am Wendepunkt selbst gibt es keine Krümmung. Anschaulich stellt man sich am besten eine Strasse von oben vor, auf welcher man Fahrrad fährt. Z.B. erst eine Links- und dann eine Rechtskurve. An dem Punkt, an dem man den Lenker gerade hält, ist der Wendepunkt.Im folgenden Video wird das Krümmungsverhalten an den Wendepunkten erläutert.Das Video wird geladen...Am Wendepunkt ist die Steigung ...
  12. Bedingungen für Wendepunkte
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte > Bedingungen für Wendepunkte
    Rechts-Links-Wendepunkt mit negativer Steigung
    Zu den Wendepunkten gehörender Rechts-Links-Wendepunkt undder Links-Rechts-Wendepunkt bzw. Sattelpunkt.Die Berechnung der Wendepunkte erfolgt über zwei Bedingungen:1. notwendige Bedingung f´´(x) = 02. hinreichende Bedingung f´´´(x) > 0 (RL-WP) oder f´´´(x) < 0 (LR-WP)Diese Bedingungen können aus den folgenden Bildern abgeleitet werden:Rechts-Links-WendepunkteFür Rechts-Links-Wendepunkte gilt folgendes:Rechts-Links-Wendepunkt ...
  13. Berechnung von Wendepunkten
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte > Berechnung von Wendepunkten
    Um die Wendepunkte zu berechnen, muss man folgende Schritte ausführen:die zweite und die dritte Ableitung berechnen (f''(x) und f'''(x))die zweite Ableitung = Null setzen mit f''(x)=0 die Wendestelle xW berechnen (Gleichung nach x auflösen), d.h. den x-Wert des Wendepunktes berechnenmit f'''(xW) überprüfen, ob der Wendepunkt ein RL-WP oder ein LR-WP ist.Dazu wird die Wendestelle in die dritte Ableitung eingesetzt. Ist f'''(xW) < 0 ist der Wendepunkt ein LR-WP.Ist f'''(xW) > ...
Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
  • 99 Texte mit 116 Bildern
  • 174 Übungsaufgaben
  • und 29 Videos



einmalig 29,00 Euro / kein Abo
umsatzsteuerbefreit gem. § 4 Nr. 21 a bb) UStG