Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

Das Kapitel Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 in unserem Online-Kurs Grundlagen der Analysis (Analysis 1) besteht aus folgenden Inhalten:

1. Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1

   Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1

   

   Hier ist zu sehen, was alles zu einer Funktionsuntersuchung dazugehört. Alle Punkte werden nacheinander behandelt.Im diesem ersten Teil werdender Definitionsbereich, die Symmetrie, die Schnittpunkte mit den Achsen sowie die Extrem- und Wendepunkt behandelt.Übersicht über die FunktionsuntersuchungUm diese Punkte bearbeiten zu können ist es ganz wichtig, dass die Berechnung von Nullstellen und das Ableiten von Funktionen ...

2. Definitionsbereich

   Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Definitionsbereich

   

   Als Definitionsbereich bezeichnet man den Bereich der x-Werte, in dem die Funktion definiert ist. Er um fasst alle x-Werte, die „erlaubt“ sind. Alle Elemente des Definitionsbereiches werden als Stelle bezeichnet. Bei ganzrationalen Funktionen der Form f(x)=a$x^n$+b$x^{n-1}$+..+gx+h sind immer alle x-Werte erlaubt, daher ist der Definitionsbereich  ID=IR, d.h. der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen. „Unerlaubte“ x-Werte treten bei Brüchen oder Wurzeln ...

3. Symmetrie

   Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Symmetrie

   

   Bei der Betrachtung der Symmetrie unterscheiden wir zwei Arten, die Symmetrie zur y-Achse, kurz Achsensymmetrie, und die Drehsymmetrie zum Ursprung (0/0) mit dem Drehwinkel 180°, kurz Punktsymmetrie.AchsensymmetriePunktsymmetrieAchsensymmetrie zur y-AchseAchsensymmetrie bedeutet, dass der Graph spiegelsymmetrisch bzw. achsensymmetrisch zur y-Achse ist.Um die Achsensymmetrie bei einer Funktion zu überprüfen muss festgestellt werden ob:f(-x)=f(x). (Sie wissen nicht wie man auf diese Bedingung ...

4. Schnittpunkte mit den Achsen

   Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen

   

   Bei den Schnittpunkten mit den Achsen handelt es sich einmal um den Y-Achsenabschnitt (Schnittpunkt mit der y-Achse) und um die Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse).Schnittpunkt mit der Y-AchseY-AchsenabschnittSchnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle)Nullstelle

5. y-Achsenabschnitt

   Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > y-Achsenabschnitt

   

   Der Schnittpunkt mit der y-Achse wird auch als y-Achsenabschnitt bezeichnet. Alle Werte, die auf der y-Achse liegen, habe den x-Wert = 0, d.h. ein Punkt auf der y-Achse hat die Koordinaten (0/y0).Jede ganzrationale Funktion hat einen y-Achsenabschnitt y0. Dieser liegt beim Punkt (0/y0).Y-AchsenabschnittDer y-Achsenabschnitt wird berechnet, indem in der Funktion x Null gesetzt wird, d.h. es wird f(0) berechnet.Bei ganzrationalen Funktionen ist der y-Achsenabschnitt die Konstante am Ende der Funktion.f(x)=-x³+2x-1f(0)=-0³+2$\cdot$0-1=-1f(x)=4x²+2xf(0)=4$\cdot$0²+2$\cdot$0=0Ist ...

6. Nullstellen

   Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > Nullstellen

   

   Der Schnittpunkt mit der x-Achse wird auch als Nullstelle x0 bezeichnet. Alle Werte, die auf der x-Achse liegen, habe den y-Wert = 0, d.h. ein Punkt auf der x-Achse hat die Koordinaten (x0/0).Nicht jede ganzrationale Funktion hat eine Nullstelle.Quadratische Funktion mit NullstelleBerechnung der NullstelleDie Nullstelle wird berechnet, indem in die gesamte Funktion Null gesetzt wird, d.h. die Gleichung f(x)=0 wird nach x umgestellt.f(x)=x²-4=00=x0²-4    ...

7. Klassifizierung der Nullstellen

   Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > Klassifizierung der Nullstellen

   

   Die Nullstellen werden als erstes anhand ihres Grades klassifiziert. Der Grad ist der höchste Exponent der Funktion. Es gibt Funktionen mit ungeradem und geradem Grad. Desweiteren gibt es verschiedene Arten von Nullstellen in Abhängigkeit der Berührung mit der x-Achse (einfache, doppelte, dreifache Nullstellen). Nullstellen bei Funktionen mit ungeradem GradAlle Funktionen, die einen ungeraden Grad n haben wie z. B. x³+x² oder x+2, haben mindestens eine Nullstelle, maximal ...

8. Extrempunkte

   Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Extrempunkte

   

   Unter Extrempunkten versteht man Punkte, deren y-Werte minimal am kleinsten oder maximal am größten sind. Dazu gehört der Hochpunkt (Maximum) und der Tiefpunkt (Minimum).Hochpunkt (Maximum) für die Funktion f(x)=-x2Tiefpunkt (Minimum) für die Funktion f(x)=x2Um Extrempunkte berechnen zu können, brauchen Sie folgende grundlegende rechnerischen Fähigkeiten:Nullstellen berechnen (p-q-Formel, Polynomdivision)von einer gegebenen ...

9. Bedingungen für Extrempunkte

   Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Extrempunkte > Bedingungen für Extrempunkte

   

   Zu den Extrempunkten gehört der Hochpunkt (Maximum, HP, Max) und der Tiefpunkt (Minimum,TP, Min). Hochpunkt sowie Tiefpunkt gehören, neben dem Sattelpunkt, zu den Punkten mit waagerechter Tangente.Berechnung des Hochpunkts und des TiefpunktsDie Berechnung der Extrempunkte erfolgt über zwei Bedingungen.notwendige Bedingung f´(x) = 0hinreichende Bedingung f``(x) > 0 (TP) oder f´´(x) < 0 (HP) Diese Bedingungen können aus den folgenden Abbildungen abgeleitet ...

10. Berechnung der Extrempunkte

    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Extrempunkte > Berechnung der Extrempunkte

    

    Um die Extrempunkte zu berechnen, müssen Sie folgende Schritte ausführen:die erste und die zweite Ableitung berechnen ($f'(x)$ und $f''(x)$)die erste Ableitung = Null setzen und mit $f´(x)=0$ die Extremstelle $x_E$ berechnen (Gleichung nach x auflösen), d.h. den x-Wert des Extrempunktes berechnenmit $f''(x_E)$ überprüfen, ob der Extrempunkt ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist.Dazu wird die Extremstelle in die zweite Ableitung eingesetzt. Ist $f''(x_E) < 0$ ist der ...

11. Wendepunkte

    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte

    

    Wendepunkte sind die Punkte, an denen sich die Krümmung ändert bzw. wendet. Am Wendepunkt selbst gibt es keine Krümmung. Anschaulich stellt man sich am besten eine Strasse von oben vor, auf welcher man Fahrrad fährt. Z.B. erst eine Links- und dann eine Rechtskurve. An dem Punkt, an dem man den Lenker gerade hält, ist der Wendepunkt.Im folgenden Video wird das Krümmungsverhalten an den Wendepunkten erläutert.Das Video wird geladen...(wendepunkte-kruemmungsverhalten)Am ...

12. Bedingungen für Wendepunkte

    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte > Bedingungen für Wendepunkte

    

    Zu den Wendepunkten gehörender Rechts-Links-Wendepunkt undder Links-Rechts-Wendepunkt bzw. Sattelpunkt.Die Berechnung der Wendepunkte erfolgt über zwei Bedingungen:1. notwendige Bedingung f´´(x) = 02. hinreichende Bedingung f´´´(x) > 0 (RL-WP) oder f´´´(x) < 0 (LR-WP)Diese Bedingungen können aus den folgenden Bildern abgeleitet werden:Rechts-Links-WendepunkteFür Rechts-Links-Wendepunkte gilt folgendes:Rechts-Links-Wendepunkt ...

13. Berechnung von Wendepunkten

    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte > Berechnung von Wendepunkten

    

    Um die Wendepunkte zu berechnen, muss man folgende Schritte ausführen:die zweite und die dritte Ableitung berechnen (f''(x) und f'''(x))die zweite Ableitung = Null setzen mit f''(x)=0 die Wendestelle xW berechnen (Gleichung nach x auflösen), d.h. den x-Wert des Wendepunktes berechnenmit f'''(xW) überprüfen, ob der Wendepunkt ein RL-WP oder ein LR-WP ist.Dazu wird die Wendestelle in die dritte Ableitung eingesetzt. Ist f'''(xW) < 0 ist der Wendepunkt ein LR-WP.Ist f'''(xW) > ...