Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

Das Kapitel Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen in unserem Online-Kurs Grundlagen der Analysis (Analysis 1) besteht aus folgenden Inhalten:

1. Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen

   Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen

   

   In der Oberstufe wird nicht mehr mit den Exponentialfunktionen $f(x)=a\cdot b^x$ gearbeitet, sondern mit der e-Funktion $f(x)=a\cdot e^{kx}$. Die e-Funktionen sind ein Spezialfall der Exponentialfunktionen und jede Exponentialfunktion lässt sich in eine e-Funktion umwandeln.$f(x)=a\cdot b^x = a\cdot e^{lnb\cdot x}$Der Grund warum in der Oberstufe meist nur mit e-Funktionen gearbeitet wird, liegt in ihrer einfachen Ableitbarkeit.Die Ableitung von $e^x$ ist $e^x$.

2. Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen

   Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen

   

   Auch bei einer e-Funktion müssen die 10 Punkte einer Funktionsuntersuchung gekonnt werden:DefinitionsbereichSymmetriey-AchsenabschnittNullstelleExtrempunkteWendepunkteGlobalverhaltenWertebereichMonotonieGraphDie Ansätze zur Berechnungen sind dabei identisch zu denen der Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen.Das Aussehen der e-Funktion unterscheidet sich vom Aussehen der ganzrationalen Funktionen, da die e-Funktionen ein asymptotisches Verhalten aufweisen. Das bedeutet, dass die ...

3. Ableitung der e-Funktion

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   Um einfache e-Funktionen z.B. f(x) = 3$\cdot e^{2x²}$ abzuleiten benötigtst du die Kettenregel, die besagt "Ableitung der inneren Funktion mal Ableitung der äußeren Funktion". Der Exponent z ist dann die innere Funktion, $e^z$ die äußere Funktion.Da die Ableitung von $e^z$ ist $e^z$ muss nur der Exponent abgeleitet und davor geschrieben werden.f(x) = $\ 3 \cdot e^{2x²}$f´(x) = $\ 3 \cdot \text {Ableitung der inneren Funktion} \cdot \text {Ableitung ...

4. Asymptoten

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   Im Gegensatz zu den ganzrationalen Funktionen haben e-Funktionen meistens eine Asymptote.Eine Asymptote ist eine Funktion, oft eine Parallele zur x-Achse, gegen die die e-Funktion läuft, d.h. bei großen x schmiegt sich die e-Funktion immer weiter an die Asymptote an.Asymptoten bei e-FunktionenBestimmung von AsymptotenAsymptoten werden bestimmt, in dem man den Grenzwert der Funktion berechnet. Bei ganzrationalen Funktionen, gibt es nur die zwei Möglichkeiten +unendlich oder - unendlich.Bei ...

5. Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen

   Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen

   

   Auf den folgenden Seiten wird ein einfaches und ein komplexes Beispiel einer komplette Funktionsuntersuchung von e-Funktionen gezeigt.

6. Einfache e-Funktion

   Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > Einfache e-Funktion

   

   Bevor du die Funktionsuntersuchung abarbeitest ist es sinnvoll, sich die Funktion anzusehen und zu überlegen welche Besonderheiten diese hat und wie die Funktion aussieht. Mache auch eine Skizze von der Funktion. Ohne Taschenrechner und schriftliche Rechnungen lässt sich folgendes über die Funktion f(x)=$2\cdot e^{-3x+1}-0,5$ sagen:Die Funktion ist eine fallende e-Funktion.(Begründung: negatives Vorzeichen vorm x)Die Funktion ist nicht symmetrisch.(Begründung: keine ...

7. komplexe e-Funktion

   Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion

   

   Bevor du die Funktionsuntersuchung abarbeitest ist es sinnvoll, sich die Funktion anzusehen und zu überlegen welche Besonderheiten diese hat und wie die Funktion aussieht. Mache auch eine Skizze von der Funktion. Ohne Taschenrechner und schriftliche Rechnungen lässt sich folgendes über die Funktion f(x)=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$ sagen:Die Funktion ist punktsymmetrisch.(Begründung: Der Exponent ist achsensymmetrisch, die Funktion vor der e-Funktion ist punktsymmetrisch.)Die ...

8. Definitionsbereich und Symmetrie komplexe e-Funktion

   Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Definitionsbereich und Symmetrie komplexe e-Funktion

   

   Definitionsbereichda in der Funktion f(x)=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$ weder Brüche noch Wurzel vorkommen ist der Definitionsbereich auch nicht eingeschränkt, daher gilt:I‍D = I‍RSymmetrieUm die Symmetrie nachzuweisen muss f(-x) berechnet werden.f(-x)=$-3(-x)^3\cdot e^{-2(-x)^2+1}=+3x^3\cdot e^{-2x^2+1}=-f(x)$, so dass die Funktion punktsymmetrisch ist.

9. Schnittpunkte mit den Achsen komplexe e-Funktion

   Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Schnittpunkte mit den Achsen komplexe e-Funktion

   

   y-AchsenabschnittRechnerische Bestimmung durch Berechnung von f(0), d.h. x wird in der Funktionsgleichung Null gesetzt.f(0)=$-3\cdot 0³\cdot e^{-2\cdot 0²+1}$=0$\cdot e^{0}$=0Ergebniss: y0=0NullstellenBedingung: f(x)=0                 0=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$  Ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist.  $e^{-2x²+1}$ kann nicht null werden, daher ergibt ...

10. Extrempunkte komplexe e-Funktion

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    Extrempunktea) x-Werte berechnenBedingung: f´(x)=0                  f(x)=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$Berechnung der 1. Ableitung mit der Produkt- und Kettelregel                  f´(x)=$-9x²\cdot e^{-2x²+1}$+ $-3x³\cdot -4x \cdot e^{-2x²+1}$                   ...

11. Wendepunkte komplexe e-Funktion

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    Wendepunktea) x-Werte berechnenBedingung: f´´(x)=0f(x)=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$f´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$               Berechnung der 2. Ableitung mit der Produkt- und Kettelregelf´´(x)=$-4x \cdot e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$+$e^{-2x²+1} \cdot (-18x+48x^3)$f´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (36x^3-48x^5)$+$e^{-2x²+1} \cdot (-18x+48x^3)$f´´(x)=$e^{-2x²+1} ...

12. Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie komplexe e-Funktion

    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie komplexe e-Funktion

    

    GlobalverhaltenDie Funktion f(x)=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$ ist ein Produkt aus einer ganzrationalen Funktion und einer e-Funktion. Die e-Funktion setzt sich immer durch. Diese e-Funktion ist symmetrisch, da x² im Exponent steht. Es gibt also eine Asymptote sowohl bei x-> $\infty$ als auch bei x-> -$\infty$.wenn x-> $\infty$, dann f(x) -> 0, y=0 ist die Asymptote.wenn x-> $-\infty$, dann f(x) -> 0, y=0 ist die Asymptote.WertebereichHier wird der Wertebereich durch das ...

13. Graph komplexe e-Funktion

    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Graph komplexe e-Funktion

    

    Um den Graph zu erstellen ist es wichtig, zuerst alle berechneten Punkte und die Asymptote einzutragen.Punkte des GraphenIn unserem Beispiel mit dem Graph der Funktion $ f(x)=-3x³\cdot e^{-2x²+1}$ sind das:TP (0,87/-1,18),       HP (-0,87/ 1,18),            SP (0/0)W1         L-R-SP (0/0)W2         L-R-WP (1,22/-0,75)W3         ...

14. Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar

    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar

    

    Auch bei einer Kurvenschar einer e-Funktion können alle Punkte berechnet werden nur in Abhängigkeit des Parametern.Als Beispiel rechnen wir jetzt mit der Funktion$f_t(x)=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx})$, t soll ungleich 0 sein, da sonst die Gleichung f(x)=8 entsteht.Diese Funktionsgleichung beschreibt eine sogenannte Kettenlinie, zu der es im Abitur auch schon eine Aufgabe gab.

15. Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar

    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar

    

    DefinitionsbereichBei der Funktion $f_t(x)=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx})$ sind alle x erlaubt, da es keine Wurzeln und Brüche gibt. der Definitionsbereich ist daher:D=IRSymmetrieFür die Symmetrie rechnen wir $f_t(-x)$ aus.$f_t(-x)=4\cdot(e^{t(-x)}+e^{-t(-x)})=4\cdot(e^{-tx}+e^{tx})$$=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx})=f(x)$Deshalb ist die Funktion achsensymmetrisch.Schnittpunkte mit den Achseny-Achsenabschnitt (y-Wert bei x=0)$f_t(0)=4\cdot(e^{t\cdot 0}+e^{-t \cdot 0})=4\cdot 2=8$Nullstellen (x-Wert bei y=0)Die ...

16. Extrempunkte der e-Schar

    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Extrempunkte der e-Schar

    

    ExtrempunkteUm die Extrempunkte der Funktionenschar $f_t(x)=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx}), t\neq 0$ zu berechnen gehen wir auch nach dem folgenden Muster vor:die erste und die zweite Ableitung berechnen (f´(x) und f´´(x))die erste Ableitung = Null setzen mit f´(x)=0 die Extremstelle xE berechnen (Gleichung nach x auflösen), d.h. den x-Wert des Extrempunktes berechnenmit f´´(xE) überprüfen, ob der Extrempunkt ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist.Dazu wird ...

17. Wendepunkte der e-Schar

    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Wendepunkte der e-Schar

    

    Um die Wendepunkte der Funktionenschar $f_t(x)=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx}), t\neq 0$ zu berechnen gehen wir auch nach dem folgenden Muster vor:die zweite und die dritte Ableitung berechnen (f´´(x) und f´´´(x))die zweite Ableitung = Null setzen mit f´´(x)=0 die Wendestelle xW berechnen (Gleichung nach x auflösen), d.h. den x-Wert des Wendepunktes berechnenmit f´´´(xW) überprüfen, ob der Wendepunkt ein RL-WP oder ein LR_WP ist.Dazu ...

18. Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie e-Funktionenschar

    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie e-Funktionenschar

    

    GlobalverhaltenDie Funktion $f_t(x)=4\cdot(e^{tx}-e^{-tx}$ ist die Summe aus zwei e-Funktionen, einer steigenden und einer fallenden.wenn x-> $-\infty$, setzt sich die fallende e-Funktion durch daher dann f(x) -> $\infty$wenn x-> $\infty$, setzt sich die steigende e-Funktion durch daher dann f(x) -> $\infty$WertebereichHier wird der Wertebereich durch das Minimum (0/8) beschränkt.W = {x ∈ IR |  x $\ge$ 0}D. h. alle reellen Zahlen die größer als 8 sind, sind ...

19. Graph komplexe e-Funktionenschar

    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Graph komplexe e-Funktionenschar

    

    Um eine Funktionenschar zu zeichenen, müssen exemplarisch verschiedene t´s gezeichnet werden. Bei dieser Kurvenschar gab es keine Klassifizierungen der Nullstellen, Extrempunkte, Wendestellen in Abhängigkeit von t. Man nimmt dann verschiedene Werte größer und kleiner Null.Es gab keine Nullstellen und keine Wendepunkte. Der Tiefpunkt lag bei (0/8)Wir zeichnen jetzt die Graphen für t=-3,-2,-1,1,2 und 3Neben dem Extrempunkt ist es dann noch sinnvoll 2 Stützpunkte ...