Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

Das Kapitel Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen in unserem Online-Kurs Grundlagen der Analysis (Analysis 1) besteht aus folgenden Inhalten:

  1. Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen
    In der Oberstufe wird nicht mehr mit den Exponentialfunktionen $f(x)=a\cdot b^x$ gearbeitet, sondern mit der e-Funktion $f(x)=a\cdot e^{kx}$. Die e-Funktionen sind ein Spezialfall der Exponentialfunktionen und jede Exponentialfunktion lässt sich in eine e-Funktion umwandeln.$f(x)=a\cdot b^x = a\cdot e^{lnb\cdot x}$Der Grund warum in der Oberstufe meist nur mit e-Funktionen gearbeitet wird, liegt in ihrer einfachen Ableitbarkeit.Die Ableitung von $e^x$ ist $e^x$.
  2. Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
    Beispiele von e-Funktionen
    Auch bei einer e-Funktion müssen die 10 Punkte einer Funktionsuntersuchung gekonnt werden:DefinitionsbereichSymmetriey-AchsenabschnittNullstelleExtrempunkteWendepunkteGlobalverhaltenWertebereichMonotonieGraphDie Ansätze zur Berechnungen sind dabei identisch zu denen der Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen.Das Aussehen der e-Funktion unterscheidet sich vom Aussehen der ganzrationalen Funktionen, da die e-Funktionen ein asymptotisches Verhalten aufweisen. Das bedeutet, dass die ...
  3. Ableitung der e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen > Ableitung der e-Funktion
    Um einfache e-Funktionen z.B. f(x) = 3$\cdot e^{2x²}$ abzuleiten benötigtst du die Kettenregel, die besagt "Ableitung der inneren Funktion mal Ableitung der äußeren Funktion". Der Exponent z ist dann die innere Funktion, $e^z$ die äußere Funktion.Da die Ableitung von $e^z$ ist $e^z$ muss nur der Exponent abgeleitet und davor geschrieben werden.f(x) = $\ 3 \cdot e^{2x²}$f´(x) = $\ 3 \cdot \text {Ableitung der inneren Funktion} \cdot \text {Ableitung ...
  4. Asymptoten
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen > Asymptoten
    Asymptoten bei e-Funktionen
    Im Gegensatz zu den ganzrationalen Funktionen haben e-Funktionen meistens eine Asymptote.Eine Asymptote ist eine Funktion, oft eine Parallele zur x-Achse, gegen die die e-Funktion läuft, d.h. bei großen x schmiegt sich die e-Funktion immer weiter an die Asymptote an.Asymptoten bei e-FunktionenBestimmung von AsymptotenAsymptoten werden bestimmt, in dem man den Grenzwert der Funktion berechnet. Bei ganzrationalen Funktionen, gibt es nur die zwei Möglichkeiten +unendlich oder - unendlich.Bei ...
  5. Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen
    Auf den folgenden Seiten wird ein einfaches und ein komplexes Beispiel einer komplette Funktionsuntersuchung von e-Funktionen gezeigt.
  6. Einfache e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > Einfache e-Funktion
    Graph einfache e-Funktion
    Bevor du die Funktionsuntersuchung abarbeitest ist es sinnvoll, sich die Funktion anzusehen und zu überlegen welche Besonderheiten diese hat und wie die Funktion aussieht. Mache auch eine Skizze von der Funktion. Ohne Taschenrechner und schriftliche Rechnungen lässt sich folgendes über die Funktion f(x)=$2\cdot e^{-3x+1}-0,5$ sagen:Die Funktion ist eine fallende e-Funktion.(Begründung: negatives Vorzeichen vorm x)Die Funktion ist nicht symmetrisch.(Begründung: keine ...
  7. komplexe e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion
    Bevor du die Funktionsuntersuchung abarbeitest ist es sinnvoll, sich die Funktion anzusehen und zu überlegen welche Besonderheiten diese hat und wie die Funktion aussieht. Mache auch eine Skizze von der Funktion. Ohne Taschenrechner und schriftliche Rechnungen lässt sich folgendes über die Funktion f(x)=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$ sagen:Die Funktion ist punktsymmetrisch.(Begründung: Der Exponent ist achsensymmetrisch, die Funktion vor der e-Funktion ist punktsymmetrisch.)Die ...
  8. Definitionsbereich und Symmetrie komplexe e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Definitionsbereich und Symmetrie komplexe e-Funktion
    Definitionsbereichda in der Funktion f(x)=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$ weder Brüche noch Wurzel vorkommen ist der Definitionsbereich auch nicht eingeschränkt, daher gilt:I‍D = I‍RSymmetrieUm die Symmetrie nachzuweisen muss f(-x) berechnet werden.f(-x)=$-3(-x)^3\cdot e^{-2(-x)^2+1}=+3x^3\cdot e^{-2x^2+1}=-f(x)$, so dass die Funktion punktsymmetrisch ist.
  9. Schnittpunkte mit den Achsen komplexe e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Schnittpunkte mit den Achsen komplexe e-Funktion
    y-AchsenabschnittRechnerische Bestimmung durch Berechnung von f(0), d.h. x wird in der Funktionsgleichung Null gesetzt.f(0)=$-3\cdot 0³\cdot e^{-2\cdot 0²+1}$=0$\cdot e^{0}$=0Ergebniss: y0=0NullstellenBedingung: f(x)=0                 0=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$  Ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist.  $e^{-2x²+1}$ kann nicht null werden, daher ergibt ...
  10. Extrempunkte komplexe e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Extrempunkte komplexe e-Funktion
    Extrempunktea) x-Werte berechnenBedingung: f´(x)=0                  f(x)=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$Berechnung der 1. Ableitung mit der Produkt- und Kettelregel                  f´(x)=$-9x²\cdot e^{-2x²+1}$+ $-3x³\cdot -4x \cdot e^{-2x²+1}$                   ...
  11. Wendepunkte komplexe e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Wendepunkte komplexe e-Funktion
    Wendepunktea) x-Werte berechnenBedingung: f´´(x)=0f(x)=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$f´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$               Berechnung der 2. Ableitung mit der Produkt- und Kettelregelf´´(x)=$-4x \cdot e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$+$e^{-2x²+1} \cdot (-18x+48x^3)$f´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (36x^3-48x^5)$+$e^{-2x²+1} \cdot (-18x+48x^3)$f´´(x)=$e^{-2x²+1} ...
  12. Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie komplexe e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie komplexe e-Funktion
    GlobalverhaltenDie Funktion f(x)=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$ ist ein Produkt aus einer ganzrationalen Funktion und einer e-Funktion. Die e-Funktion setzt sich immer durch. Diese e-Funktion ist symmetrisch, da x² im Exponent steht. Es gibt also eine Asymptote sowohl bei x-> $\infty$ als auch bei x-> -$\infty$.wenn x-> $\infty$, dann f(x) -> 0, y=0 ist die Asymptote.wenn x-> $-\infty$, dann f(x) -> 0, y=0 ist die Asymptote.WertebereichHier wird der Wertebereich durch das ...
  13. Graph komplexe e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > komplexe e-Funktion > Graph komplexe e-Funktion
    Graph komplexe e-Funktion
    Um den Graph zu erstellen ist es wichtig, zuerst alle berechneten Punkte und die Asymptote einzutragen.Punkte des GraphenIn unserem Beispiel mit dem Graph der Funktion $ f(x)=-3x³\cdot e^{-2x²+1}$ sind das:TP (0,87/-1,18),       HP (-0,87/ 1,18),            SP (0/0)W1         L-R-SP (0/0)W2         L-R-WP (1,22/-0,75)W3         ...
  14. Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar
    Auch bei einer Kurvenschar einer e-Funktion können alle Punkte berechnet werden nur in Abhängigkeit des Parametern.Als Beispiel rechnen wir jetzt mit der Funktion$f_t(x)=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx})$, t soll ungleich 0 sein, da sonst die Gleichung f(x)=8 entsteht.Diese Funktionsgleichung beschreibt eine sogenannte Kettenlinie, zu der es im Abitur auch schon eine Aufgabe gab.
  15. Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar
    DefinitionsbereichBei der Funktion $f_t(x)=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx})$ sind alle x erlaubt, da es keine Wurzeln und Brüche gibt. der Definitionsbereich ist daher:D=IRSymmetrieFür die Symmetrie rechnen wir $f_t(-x)$ aus.$f_t(-x)=4\cdot(e^{t(-x)}+e^{-t(-x)})=4\cdot(e^{-tx}+e^{tx})$$=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx})=f(x)$Deshalb ist die Funktion achsensymmetrisch.Schnittpunkte mit den Achseny-Achsenabschnitt (y-Wert bei x=0)$f_t(0)=4\cdot(e^{t\cdot 0}+e^{-t \cdot 0})=4\cdot 2=8$Nullstellen (x-Wert bei y=0)Die ...
  16. Extrempunkte der e-Schar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Extrempunkte der e-Schar
    Berechnung des Extrempunktes mit dem Casio Classpad
    ExtrempunkteUm die Extrempunkte der Funktionenschar $f_t(x)=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx}), t\neq 0$ zu berechnen gehen wir auch nach dem folgenden Muster vor:die erste und die zweite Ableitung berechnen (f´(x) und f´´(x))die erste Ableitung = Null setzen mit f´(x)=0 die Extremstelle xE berechnen (Gleichung nach x auflösen), d.h. den x-Wert des Extrempunktes berechnenmit f´´(xE) überprüfen, ob der Extrempunkt ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist.Dazu wird ...
  17. Wendepunkte der e-Schar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Wendepunkte der e-Schar
    Um die Wendepunkte der Funktionenschar $f_t(x)=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx}), t\neq 0$ zu berechnen gehen wir auch nach dem folgenden Muster vor:die zweite und die dritte Ableitung berechnen (f´´(x) und f´´´(x))die zweite Ableitung = Null setzen mit f´´(x)=0 die Wendestelle xW berechnen (Gleichung nach x auflösen), d.h. den x-Wert des Wendepunktes berechnenmit f´´´(xW) überprüfen, ob der Wendepunkt ein RL-WP oder ein LR_WP ist.Dazu ...
  18. Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie e-Funktionenschar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie e-Funktionenschar
    GlobalverhaltenDie Funktion $f_t(x)=4\cdot(e^{tx}-e^{-tx}$ ist die Summe aus zwei e-Funktionen, einer steigenden und einer fallenden.wenn x-> $-\infty$, setzt sich die fallende e-Funktion durch daher dann f(x) -> $\infty$wenn x-> $\infty$, setzt sich die steigende e-Funktion durch daher dann f(x) -> $\infty$WertebereichHier wird der Wertebereich durch das Minimum (0/8) beschränkt.W = {x ∈ IR |  x $\ge$ 0}D. h. alle reellen Zahlen die größer als 8 sind, sind ...
  19. Graph komplexe e-Funktionenschar
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar > Graph komplexe e-Funktionenschar
    Graph Funktionenschar einer e-Funktion
    Um eine Funktionenschar zu zeichenen, müssen exemplarisch verschiedene t´s gezeichnet werden. Bei dieser Kurvenschar gab es keine Klassifizierungen der Nullstellen, Extrempunkte, Wendestellen in Abhängigkeit von t. Man nimmt dann verschiedene Werte größer und kleiner Null.Es gab keine Nullstellen und keine Wendepunkte. Der Tiefpunkt lag bei (0/8)Wir zeichnen jetzt die Graphen für t=-3,-2,-1,1,2 und 3Neben dem Extrempunkt ist es dann noch sinnvoll 2 Stützpunkte ...
Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
  • 99 Texte mit 116 Bildern
  • 174 Übungsaufgaben
  • und 29 Videos



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