Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

Das Kapitel Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen in unserem Online-Kurs Grundlagen der Analysis (Analysis 1) besteht aus folgenden Inhalten:

1. Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen

   Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen

   

   Kurvenscharen entstehen aus Funktionsgleichungen, die einen Parameter enthalten. Der Parameter ist ein beliebiger Buchstabe meist t, k oder a und kann an jeder Stelle in der Gleichung stehen.ft(x)=tx²+tfk(x)=3x²-k³fa(x)=-2x³+a²x-aIn dem Applet kannst du durch Veränderung der Parameter verschiedene Kurvenscharen simulieren. Durch Einsetzen von verschiedenen Zahlen in die Funktionsgleichung entsteht jedesmal ein neuer Graph.Bitte Box anklicken, um GeoGebra zu laden.

2. Besonderheiten von Kurvenscharen

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   Durch den Parameter in einer Funktion können folgende Eigenschaften beinflusst werden.Schnittpunkte mit den Achsen (y-Achsenabschnitt, Nullstellen)Extrempunkte, WendepunkteGlobalverhalten, Monotonie, WertebereichJe nach dem wie der Parameter ist, kann es Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte geben oder nicht. Um herauszufinden wann es diese Punkte gibt und wie viele und wann nicht werden diese klassifiziert.Im folgenden Applet siehst du, wie sich die Anzahl der Nullstellen, der Extremstellen ...

3. Klassifizierung von Kurvenscharen

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   Bei Kurvenscharen kann eine Klassifizierung vorgenommen werden.Was ist eine Klassifizierung?Klassifizierung bedeutet, dass bei einem bestimmten t eine Nullstelle auftritt, bei einem anderen t keine und bei einem noch anderen t zwei Nullstellen existieren. Eine Kurvenschar kann nach ihren Nullstellen, ihren Extrempunkten oder ihren Wendepunkten klassifiziert werden. Außerdem kann es sein, dass die Klassifizierung bei der Überprüfung auf Hoch- und Tiefpunkte mit der zweiten Ableitung ...

4. Kurvenschar Bruch

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   Nullstelle der Funktion berechnenf(x) = 2(k²-4)$\cdot$x-1,50 = 2(k²-4)$\cdot$x-1,5x0 = $\frac{0,75}{(k²-4)}$Um Brüche zu klassifizieren wird die Nullstelle des Nenners ausgerechnet.0 = k²-4  / +4k² = 4     /$\sqrt{ }$k = $\pm\sqrt{4}=\pm{2}$Das bedeutet, dass bei k = $\pm{2}$ der Nenner Null wird und damit bei k = $\pm{2}$ keine Nullstelle existiert.Die Klassifizierung sähe dann folgendermaßen aus:für k = $\pm{2}$ gibt es keine ...

5. Kurvenschar Wurzel 1

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   f(x)=-2x²-4tx-8=01. Umformen zur Normalform (:-2)0=x²+2tx+4Nullstellen mit p-q-Formel berechnenp=2t   q=4         Bestimmen von p und q $x_{1,2}$=-$\frac{2t}{2} \pm \sqrt {(\frac{2t}{2})^2-4)}$$x_{1,2}$=-t $\pm \sqrt {t²-4}$Die Nullstellen lassen sich jetzt nicht weiter zusammenfassen.Anhand dieser Nullstellen wird die Kurvenschar nun in Abhängigkeit von t klassifiziert. Bei jeder Wurzel gibt es drei Lösungsmöglichkeiten in ...

6. Kurvenschar Wurzel 2

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   Klassifizierung der Nullstellen der Funktion f(x)=x²+tx+t=0Nullstellen mit p-q-Formel berechnenp=t   q=t         Bestimmen von p und q $x_{1,2}$=-$\frac{t}{2} \pm \sqrt {(\frac{t}{2})^2-t)}$$x_{1,2}$=-$\frac{t}{2}\pm \sqrt {\frac{t²}{4}-t}$Die Nullstellen lassen sich jetzt nicht weiter zusammenfassen.Auch bei diesen Nullstellen ist wieder eine Wurzel vorhanden, so dass du die Nullstellen nach ihrer Anzahl klassifizieren musst. Wie bei jeder Wurzel ...

7. Kurvenschar Hochpunkt/Tiefpunkt

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   Extrempunkt berechnen von fa(x)=x³-ax²fa´(x)=3x²-2ax=00=x(3x-2a)xE1=0; yE1=0xE2=$\frac{2a}{3}$; yE2= $(\frac{2a}{3})^3-k(\frac{2a}{3})²$=$\frac{8a³}{27}-\frac{4a³}{9}=\frac{8a³}{27}-\frac{12a³}{27}=-\frac{4a³}{27}$Diese Extrempunkte müssen nicht klassifiziert werden, da alle a´s erlaubt sind.Überprüfung auf Hoch/ Tiefpunkt bei Punkt (0/0)fa´´(x)=6x-2afa´´(0)=6$\cdot 0$-2a=-2aHier muss jetzt eine Klassifizierung ...

8. Ortslinien von Kurvenscharen

   Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Ortslinien von Kurvenscharen

   

   Ortslinien von Kurvenscharen entstehen, wenn die Extrempunkte oder die Wendepunkte einer Kurvenschar verbunden werden.Prinzipiell gibt es vier verschiedene Fälle bei einer Kurvenschar:Die Kurvenschar hat keine Ortslinie (verändere a im Applet, wenn b=0).Die Kurvenschar hat eine Ortslinie der Form x=c, d.h. eine Parallele zur y-Achse (verändere c im Applet).Die Kurvenschar hat eine Ortslinie der Form y=c, d.h. eine Parallele zur x-Achse.Die Kurvenschar hat eine Funktion f(x) als Ortslinie ...

9. Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung

   Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung

   

   Im folgenden wird eine komplette Funktionsuntersuchung gezeigt.In Abituraufgaben werden immer nur Teile gefragt, aber es wichtig alles zu können.Folgende Funktion wird bearbeitet:f(x)=-2tx³+3t²x

10. kubische Funktionenschar

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    Zur Erinnerung unsere Beispielfunktion: f(x)=-2tx³+3t²xAuch hier ist es sinnvoll sich die Funktion erst anzusehen und zu überlegen welche Besonderheiten diese hat und wie die Funktion ungefähr aussieht. Mache dir auch eine Skizze von der Funktion.Ohne Taschenrechner und schriftliche Rechnungen lässt sich folgendes über die Funktion f(x)=-2tx³+3t²x sagen:Die Funktion ist eine kubische Funktion, die bei t>0 von links oben nach rechts unten durch das Koordinatensystem ...

11. Definitionsbereich und Symmetrie kubische Schar

    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Definitionsbereich und Symmetrie kubische Schar

    

    DefinitionsbereichDa alle x-Werte in die Funktion f(x)=-2tx³+3t²x eingesetzt werden können, gehören alle reelen Zahlen zum Definitionsbereich.Ergebniss: D=IRSymmetrieSymmetrisch zur y-Achse oder zum Ursprung ist die Funktion nicht, da gerade und ungerade Exponenten in der Funktion vorhanden sind. Rechnerisch kann es auch überprüft werden:Achsensymmetrie: f(-x)=f(x)                      ...

12. Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar

    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar

    

    y-AchsenabschnittRechnerische Bestimmung durch Berechnung von f(0), d.h. x wird in der Funktionsgleichung Null gesetzt.f(0)=-2t$\cdot 0³+3t² \cdot 0$=0Ergebniss: y0=0NullstellenBedingung: f(x)=0                 0=-2tx³+3t²x,                  Bei dieser Form der kubischen Gleichung muss                  ...

13. Extrempunkte kubische Schar

    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Extrempunkte kubische Schar

    

    ExtrempunkteBerechnung der Extrempunkte der Beispielfunktion ft(x)=-2tx³+3t²xa) x-Werte berechnenBedingung: f´(x)=0                 f´(x)=-6tx²+3t²                 0=-6tx²+3t², nach x² umstellen                 0=-6tx²+3t²       ...

14. Wendepunkte kubische Schar

    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Wendepunkte kubische Schar

    

    WendepunkteBerechnung der Wendepunkte der Beispielfunktion f(x)=-2tx³+3t²xa) x-Werte berechnenBedingung: f´´(x)=0f(x)=-2tx³+3t²xf´(x)=-6tx²+3t²f´´(x)=-12tx0=-12tx   /  : -12t (nur möglich wenn t nicht 0)x=0xW1=0Es gibt also immer einen Wendepunkt wenn t $\neq0$.Ergebnis: xW1=0 für t$\neq0$b) y-Werte berechnenEinsetzen der Extremstellen in die AusgangsfunktionyW1=f(xW1)=f(0)=-2t$\cdot(0)³+3t²\cdot0$=0Ergebnis: ...

15. Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie kubische Schar

    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie kubische Schar

    

    GlobalverhaltenDie Funktion f(x) = -2tx³+3t²x ist eine Funktion 3. Grades. Das Globalverhalten wird vom Vorzeichen vor x³ bestimmt. Das Vorzeichen in dieser Funktion ist aber abhängig von t, daher müssen wir auch hier wieder eine Fallunterscheidung vornehmen:für t > 0 ist die Funktion negativ daher gilt:wenn x-> $\infty$, dann f(x) -> -$\infty$wenn x-> $-\infty$, dann f(x) -> $\infty$für t < 0 ist die Funktion positiv daher gilt:wenn x-> $\infty$, ...

16. Graph kubische Schar

    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Graph kubische Schar

    

    Bei Kurvenscharen gibt es für jedes t einen Graph. Je nach Klassifizierung sind verschiedene Werte für t sinnvoll. Bei dieser Kurvenschar erfolgte die Klassifizierung nach t < 0 und t > 0.Daher ist es sinnvoll, für t einen Wert größer Null und einen Wert kleiner Null zu nehmen z.B. t=1 und t=-1.Für beide Werte von t werden nun alle Punkte ausgerechnet, in dem 1 oder -1 für t in die jeweiligen Terme für die Nullstellen und die Extremstellen eingesetzt ...

17. Ortslinie der Extrempunkte

    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Ortslinie der Extrempunkte

    

    Die Ortslinie der Extrempunkte einer Kurvenschar ergibt sich, wenn du alle Extrempunkte miteinander verbindest. Hier siehst du dazu eine Animation.Bitte Box anklicken, um GeoGebra zu laden.Du erkennst, dass die Ortskurve eine ungerade Funktion sein wird.Berechnung der OrtslinieDie Berechnung der Ortslinie der Extrempunkte erfolgt ausgehend von den Extrempunkten.HP ( $\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / $\sqrt{2t^5}$ )TP ( -$\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / -$\sqrt{2t^5}$ )1. Umstellen der x-Werte nach txE1=$\sqrt{\frac{1}{2}t}$   ...