Einführung in die Integralrechnung

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

Das Kapitel Einführung in die Integralrechnung in unserem Online-Kurs Grundlagen der Analysis (Analysis 1) besteht aus folgenden Inhalten:

1. Einführung in die Integralrechnung

   Einführung in die Integralrechnung

   

   Die Integralrechnung ist eng mit der Differentialrechnung verbunden. Genau wie Plus/Minus, Mal/Geteilt, Potenzieren/ Wurzelziehen ist die Integralrechnung die Umkehrung der Differentialrechnung.Die Integralrechnung ist die Umkehrung der Differentialrechnung.Das heißt, wenn du eine abgeleitete Funktion f´(x) integrierst bekommst du wieder die Ausgangsfunktion f(x).$\int f´(x) dx =f(x)$f(x)=3x²-5x     f´(x)=6x-5$\int (6x-5) dx =3x²-5x$In der Integralrechnung ...

2. Von der Summe zum Integral

   Einführung in die Integralrechnung > Von der Summe zum Integral

   

   Um den Flächeninhalt der Fläche unter eine Kurve zu berechnen wird die Fläche in gleichbreite Rechtecke geteilt. Der Flächeninhalt jedes Rechteckes läst sich leicht mit Breite*Höhe berechnen. Alle Rechtecke aufsummiert ergibt den gesamten Flächeninhalt unter der Kurve.Die Rechtecke können sich entweder über oder unter Kurve befinden. Es wird daher oft von Obersummen und Untersummen gesprochen.An dem Applet kanst du ausprobieren, was passiert, wenn sich ...

3. Die Stammfunktion und das unbestimmte Integral

   Einführung in die Integralrechnung > Die Stammfunktion und das unbestimmte Integral

   

   Die StammfunktionEine Funktion ist eine Stammfunktion F(x) einer Ausgangsfunktion f(x), wenn ihre Ableitung wieder die Ausgangsfunktion ergibt. F´(x)=f(x)Ausgangsfunktion f(x)=6x²-8xStammfunktion F(x)=2x³-4x²F´(x)=6x²-8x=f(x)Das unbestimmte IntegralZu einer Funktion gibt es aber nicht nur eine Stammfunktion, sondern eine Menge von Stammfunktionen, da an jede Stammfunktion eine beliebige Konstante addiert oder subtrahiert werden kann, die beim Ableiten wegfällt.Ausgangsfunktion ...

4. Integrationsregeln

   Einführung in die Integralrechnung > Integrationsregeln

   

   Die vier wichtigsten Integrationsregeln sind:SummenregelFaktorregelPotenzregellineare SubstitutionDie Summen- und die Faktorregel sind wie bei den Ableitungsregeln und werden hier kurz erklärt. Eine ausführliche Erläuterung der Potenzregel und der linearen Substitution erhälst du auf den nächsten zwei Seiten.Die SummenregelSummenregel der IntegrationEine Summe wird integriert, in dem du jeden Term einzeln integrierst.$\int{}{}(f(x)+g(x))$ dx =$\int{}{}f(x)$ dx+$\int{}{}g(x)$ ...

5. Potenzregel der Integration

   Einführung in die Integralrechnung > Integrationsregeln > Potenzregel der Integration

   

   Die Potenzregel der Intergration ist die Umkehrung der Potenzregel der Ableitung. Die Potenzregel kannst du nur bei rationalen Funktionen f(x)=$x^n$ (n kann eine ganze Zahl oder auch ein Bruch sein) anwenden.Hier die Potenzregel der Ableitung: $f(x)=x^n$  -> $f´(x)=n\cdot x^{n-1}$Potenzregel der Integration: $f(x)=x^n$  ->  $\int{}{}f(x)dx=\frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}$+Ceinfaches Beispiel$\int{}{}x³dx=\frac{1}{3+1}\cdot x^{3+1}+C=\frac{1}{4}\cdot x^{4}$+CBeispiel mit ...

6. lineare Substitution

   Einführung in die Integralrechnung > Integrationsregeln > lineare Substitution

   

   Die lineare Substitution musst immer angewendet werden, wenn eine Funktion vorliegt, die mit einer linearen Funktion verkettet ist. Sie ist verwandt mit der Kettenregel beim Ableiten.Die lineare Substitution kann bei jeder Art von verketteter Funktion vorkommen, z.B. Polynomfunktionen, e-Funktionen, Wurzelfunktionen oder trigonometrische Funktionen.f(x)=(2x+1)² oder f(x)=$\sqrt{-3x}$Regel zur linearen Substitution:$\int{}{}f(mx+b)dx=\frac{1}{m}\cdot F(mx+b)+C$Berechnung von $\int{}{}(2x+1)²dx$Substitution ...

7. Der Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechung

   Einführung in die Integralrechnung > Der Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechung

   

   Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gliedert sich in zwei Teile:Für eine stetige Funktion f wird durch$$A(x) :=\int_{a}^{x}{ f(x) dx }$$ eine Stammfunktion A(x) zu f(x) definiert. A(x) wird auch Integralfunktion und Flächeninhaltsfunktion genannt.Es gilt $$A´(x) :=(\int_{a}^{x}{ f(x) dx })´=f(x) $$Jede andere Stammfunktion von f hat die Form F(x) = A(x) + c Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), so gilt $$\int_{a}^{b}{ f(x) dx }=F(b)-F(a)$$$$\int_{a}^{b}{ f(x) ...

8. Das bestimmte Integral

   Einführung in die Integralrechnung > Das bestimmte Integral

   

   Das bestimmte Integral ist die Fläche zwischen der Kurve, der x-Achse, der Grenze a und der Grenze b.Bestimmtes IntegralDas bestimmte Integral wird mit dem Hautsatz der Integral- und Differentialrechung berechnet:$$\int_{a}^{b}{ f(x) dx }=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$$1. Stammfunktion ausrechnen$$\int_{2}^{3}{ x²-1 dx }=[\frac{x^3}{3}-x]_2^3=F(3)-F(2)$$2. beide Grenzen in Stammfunktion einsetzen und voneinander subtrahieren$$=\frac{3^3}{3}-3-(\frac{2^3}{3}-2)=\frac{27}{3}-3-\frac{8}{3}+2=\frac{19}{3}-1=5,33$$In ...