Verständnis der Ableitung

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

Das Kapitel Verständnis der Ableitung in unserem Online-Kurs Grundlagen der Analysis (Analysis 1) besteht aus folgenden Inhalten:

1. Verständnis der Ableitung

   Verständnis der Ableitung

   

   Die Ableitung, genauer gesagt die Tangentensteigungsfunktion, ist für die Oberstufe unglaublich wichtig. Je besser verstanden wird, was die Ableitung ist und wie sie berechnet wird, um so leichter werden uns später die Aufgaben dazu fallen. Daher werden in diesem Kapitel die Ableitung und die Ableitungsregeln ausführlich erklärt.Wozu ist die Ableitung aber gut? Braucht man sie irgendwann?Innermathematisch braucht man die Ableitung um Steigungen, Steigungswinkel, Extrempunkte oder ...

2. Was ist die Ableitung?

   Verständnis der Ableitung > Was ist die Ableitung?

   

   Bestimmt man in jedem Punkt einer Funktion die Steigung der Tangente, ergibt sich eine neue Funktion, die Tangentensteigungsfunktion bzw. die Ableitung.Im folgenden Applet wird das sehr deutlich. An dem dargestellten Punkt A auf dem Graphen wird die Tangente mit dem dazugehörigen Steigungsdreieck gezeichnet sowie die Steigung der Tangente berechnet. Diese berechnete Tangentensteigung ist die y-Koordinate des dazugehörigenden Punktes der Steigungsfunktion der nun blau gezeichnet wird.Wenn ...

3. Die graphische Ableitung

   Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung

   

   Um Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte zu berechnen wird die Ableitung benötigt,  die nach verschiedenen Regeln berechnet wird.Aber warum benötigt man dazu die Ableitung?Woher kommen die Bedingungen zur Berechnung von Hochpunkten, Tiefpunkten und Wendepunkten?Dieses Verständnis kann sich dir nur erschließen, wenn du die Bedeutung der Ableitung 100% verstanden hast und graphisch ableiten kannst.Auf den folgenden Seiten erhälst du daher eine Schritt für Schritt ...

4. Punkte mit waagerechter Tangente

   Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Punkte mit waagerechter Tangente

   

   Folgende Eigenschaften haben Punkte mit waagerechter Tangente (PWT):keine Steigung,Steigung Null,waagerechte Tangente,Ableitung Null, f`(x)=0Zu den Punkte mit waagerechter Tangente gehören:Extrempunkte (Maxima/Hochpunkt, Minima/Tiefpunkt)Sattelpunkte (R-L-Sattelpunkte, L-R-Sattelpunkt)Punkte mit waagerechter TangenteFür alle Punkte mit waagerechter Tangente (PWT), d.h mit Steigung Null, ergibt sich in der Ableitung eine Nullstelle,da die Ableitung die Funktion der Tangentensteigungen ist.PWT ...

5. Extrempunkte graphisch

   Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Punkte mit waagerechter Tangente > Extrempunkte graphisch

   

   Maximum als ExtrempunktBesonderheiten am Maximum in f(x)positive Steigung vor dem Maximumnegative Steigung nach dem MaximumDaraus ergibt sich:Graph der Ableitungsfunktion f´(x) fällt an der NS (Nullstelle)einfache NullstelleVorzeichenwechsel der Steigung (Ableitung) von positiv zu negativ (VZW + -)die notwendige Bedingung für eine Extremstelle f´(x)=0hinreichende Bedingung f´´(x) < 0, da die Steigung von f´(x), also f´´(x), negativ ist.Maximum ...

6. Sattelpunkte

   Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Punkte mit waagerechter Tangente > Sattelpunkte

   

   Es gibt zwei Arten von Sattelpunkten (SP), deren Eigenschaften unten dargestellt sind.Der Rechts-Links-SattelpunktBesonderheiten am R-L-SP in f(x):positive Steigung vorm SPpositive Steigung nach dem  SPDaraus ergibt sich:Graph der Ableitungsfunktion f´(x) hat an der Nullstelle ein Minimumdoppelte NullstelleVorzeichenwechsel der Steigung von positiv zu positiv (VZW + +)Rechts-Links-Sattelpunkt graphisch ableitenDer Links-Rechts-SattelpunktBesonderheiten am L-R-SP in f(x):negative Steigung ...

7. Wendepunkte graphisch

   Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Wendepunkte graphisch

   

    Wendepunkte haben folgende Eigenschaften:Steigung extremal, d.h maximal oder minimalAbleitung ist extremalKrümmung ändert sichentweder Linkskrümmung in Rechtskrümmung (L-R-WP)oder- Rechtskrümmung in Linkskrümmung (R-L-WP)Wendepunkte mit minimaler und maximaler SteigungDie obere Grafik zeigt Beispiel fürWendepunkte mit maximaler Steigung (oben) undWendepunkte mit minimaler Steigung (darunter).

8. Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten

   Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Wendepunkte graphisch > Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten

   

   Es gibt zwei verschiedene Arten von Rechts-Links-Wendepunkten.R-L-Wendepunkte mit negativer Steigung undR-L-Wendepunkte mit positiver Steigung.In beiden Fällen ergibt sich ein Minimum beim Ableiten, einmal im negativen und einmal im positiven Bereich der Ableitungsfunktion. In den nachfolgenden Bildern erkennst du sehr gut, warum das so ist. Seh dir immer die Steigungen von f(x) an und die dazugehörigen y-Werte der Ableitungsfunktion.WP = WendepunktRechts-Links-Wendepunkt mit negativer ...

9. Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten

   Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Wendepunkte graphisch > Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten

   

   Es gibt zwei verschiedene Arten von Links-Rechts-Wendepunkten.L-R-Wendepunkte mit positiver Steigung undR-L-Wendepunkte mit negativer Steigung.In beiden Fällen ergibt sich ein Maximum beim Ableiten, einmal im positiven und einmal im negativen Bereich der Ableitungsfunktion. In den nachfolgenden Bildern erkennst du wieder sehr gut, warum das so ist. Seh dir immer die Steigungen von f(x) an und die dazugehörigen y-Werte der Ableitungsfunktion.Links-Rechts-Wendepunkt mit positiver ...

10. Vergleich der Wendepunkte

    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Vergleich der Wendepunkte

    

    Alle Rechts-Links-Wendepunkte, zu denen auch die R-L-Sattelpunkte gehören, finden Sie in Graphenabschnitten, welche zuerst rechtsgekrümmt und dann linksgekrümmt sind.Bei jeder Rechtskrümmung fällt der Graph der ersten Ableitung, da die Steigung von f(x) (f´(x)) kleiner wird. Bei jeder Linkskrümmung steigt der Graph der Ableitung, da die Steigung von f(x) (f´(x)) größer wird. Dazwischen liegt dann immer ein Minimum.Je nachdem wie die Steigung am ...

11. Graphen ableiten

    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Graphen ableiten

    

    Ausgangspunkt des graphischen Ableitens ist der Graph einer Funktion f(x) oder der Graph einer Ableitungsfunktion f’(x) oder f’’(x). Am effektivsten gehst du nach folgenden drei Punkten vor:1. Zeichne unter den Graphen der Funktion ein KoordinatensystemZeichne unter den Graphen der Funktion, ein Koordinatensystem, so dass die x-Achsen genau untereinander sind, bezeichnen Sie die besonderen Punkte Maximum, Minimum, Sattelpunkt und Wendepunkt und ziehen Sie dann ...