Gleichungen lösen

Vorkenntnisse zur Analysis

Das Kapitel Gleichungen lösen in unserem Online-Kurs Vorkenntnisse zur Analysis besteht aus folgenden Inhalten:

1. Gleichungen lösen

   Gleichungen lösen

   

   Zu den wichtigsten Grundlagen in der Analysis gehört das Lösen von Gleichungen.Das bedeutendste Anwendungsgebiet ist dabei das Berechnen der Nullstellen, d.h. eine Gleichung wird gleich Null gesetzt und nach x umgestellt. Das ist zugleich auch fast immer der einzig Erfolg versprechende Weg, um eine Gleichung tatsächlich zu lösen.Die Nullstellenberechnung taucht in der Analysis an mehreren Stellen auf:Nullstellen einer FunktionNullstellen der 1. Ableitung (zur Bestimmung der Extrempunkte)Nullstellen ...

2. Lineare Gleichungen lösen

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   Die linearen Gleichungen sind die einfachsten zu lösenden Gleichungen. Lineare Gleichungen erkennt man daran, dass in der Gleichung nur Zahlen und eine Variable - zum Beispiel x - stehen (kein x², x³ usw.).Um lineare Gleichungen zu lösen benötigt man nur die Grundrechenarten, also die mathematischen Operationen: $+, -, \cdot,:$Ziel des Gleichungslösens ist es, die Variable x (kann aber aber auch einen anderen Namen haben wie z. B. a, y, z u.s.w) herauszubekommen. ...

3. Quadratische Gleichungen lösen

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   Quadratische Gleichungen entstehen in der Analysis, wenn Du quadratische Funktionen mit einer Zahl oder einer Funktion gleichsetzen. Dies tritt auf bei:NullstellenberechnungBerechnung eines x-Wertes zu gegebenen y-WertSchnittpunktberechnung von zwei FunktionenNullstellenNullstellenberechnung$f(x)=3x²-4x+5$$0=3x²-4x+5$Diese quadratische Gleichung muss nun gelöst werden.x-WertBerechnung eines x-Wertes zu einem gegebenen y-Wert$f(x)=-2x²+5, y-Wert f(x)=4$$4=-2x²+5$Diese quadratische ...

4. Quadratische Funktionen lösen

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   Der einfachste Typ einer quadratischen Gleichung enthält nur einen Term ax² und eine Zahl c.Die Gleichungen können so aussehen:$ax²=-c$$0=ax²+c$ (Nullstellenberechnung)Bei beiden Gleichungen wird zuerst einmal so umgestellt, dass x² alleine steht.$ax²=-c  \vert :a$$0=ax²+c    \vert  -c$$-c=ax²      \vert :a$$x²=\frac{-c}{a}$Die Umkehroperation des Quadrierens ist das Wurzelziehen, daher wird nun auf beiden ...

5. Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen

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   Der nächst einfachere Typ einer quadratischen Gleichung enthält nur einen Term ax² und einen Term bx.Die Gleichungen können so aussehen:$ax²=-bx$$0=ax²+bx$ (Nullstellenberechnung)Hier muss man die erste Gleichung so umstellen, dass diese die Form der zweiten hat.$ax²=-bx \vert +bx$$0=ax²+bx$$0=ax²+bx$Nun darf nicht einfach durch x dividiert werden, da x auch 0 sein kann und man durch 0 nicht teilen darf. Außerdem geht so die Lösung ...

6. Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen

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   Der schwierigste Typ einer quadratischen Gleichung enthält einen Term ax², einen Term bx und eine Zahl c.Die Gleichungen können so aussehen:$ax²=-bx-c, ax²+bx=-c$$0=ax²+bx+c$ (Nullstellenberechnung)Diese Form der quadratischen Gleichung kann mit der p-q-Formel oder mit der quadratischen Ergänzung gelöst werden.Da die pq-Formel in jeder Formelsammlung zu finden ist, wird diese auch meist für das Lösen von quadratischen Gleichungen verwendet.Um die ...

7. Gleichungen höheren Grades lösen

   Gleichungen lösen > Gleichungen höheren Grades lösen

   

   Im folgenden Abschnitt beschäftigen wir uns mit den folgenden Besonderheiten:Gleichungen durch Ausklammern lösenGleichungen duch Substitution lösenGleichungen durch Polynomdivision lösen

8. Gleichungen durch Ausklammern lösen

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   Gleichungen höheren Grades können immer dann durch Ausklammern gelöst werden, wenn die verbleibende Klammer ein Funktion 2 Grades ist und dann mit der pq-Formel gelöst werden kann.0=$x^5-3x^4-4x^3$Hier wird $x^3$ ausgeklammert und es entsteht die Gleichung$0=x^3 \cdot (x^2-3x-4)$.Eine Lösung ist dann immer x=0 und die anderen Lösungen sind die Lösung aus der pq-Formel.

9. Gleichungen durch Substitution lösen

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   Gleichungen höheren Grades können immer dann durch Substitution gelöst werden, wenn die Substitution, d.h. das Ersetzen, auf eine quadratische Gleichung führt.$x^4+6x^2=4$Es wird x² substituiert, d.h. ersetzt durch einen anderen Buchstaben z.B. a=x².Die Gleichung sieht dann so aus:a²+6a=4, diese quadratische Gleichung kann jetzt in die Normalform gebracht und mit der pq-Formel aufgelöst werden.0=a²+6a-4$a_{1,2}$=-3$ \pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-(-4)}$$a_{1,2}$=-3$ ...

10. Gleichungen durch Polynomdivision lösen

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    Alle Gleichungen, die sich nicht durch Substitution oder Ausklammern lösen lassen, können mit der Polynomdivision gelöst werden. Voraussetzung für diese Form der Auflösung ist eine bekannte Lösung und dass die Gleichung in der Form $0=.....$ vorliegt.Nochmal: das Durchführen einer Polynomdivision ist nicht in allen Bundesländern Pflichtstoff fürs Abitur. Dennoch sollte man über die Idee dahinter Bescheid wissen.Die Gleichung $6-x^3=2x^2-5x$ soll nach ...

11. Ungleichungen lösen

    Gleichungen lösen > Ungleichungen lösen

    

    Beim Lösen von Ungleichungen gelten fast alle Regeln des Gleichungslösen. Es gibt nur einen Unterschied:Wird beim Lösen einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert, muss das Zeichen umgekehrt werden.$-2x+5>3$   /-5$-2x>-2      /:-2$x<1$   Im folgenden Video wird anhand einer Abituraufgabe die Lösung solch einer Ungleichung gezeigt.Das Video wird geladen ...

12. e-Funktionen lösen

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    Um e-Funktionen, bzw. Gleichungen mit einem e-Term zu lösen muss die Gleichung erst so umgestellt werden, dass der e-Term alleine steht.$3=-5\cdot e^{2x}+4$ /-4$-1=-5\cdot e^{2x}$ /:-5$\frac{1}{5}=e^{2x}$Im zweiten Schritt wird die Gleichung dann logarithmiert und nach x aufgelöst.$\frac{1}{5}=e^{2x}$   / ln$ln(\frac{1}{5})=ln(e^{2x})$Anwenden der Logarithmengesetze: Exponent kann vor den Logarithmus geschrieben werden.$ln(\frac{1}{5})=2x\cdot ln(e)$         ...

13. e-Funktionen mittels Substitution lösen

    Gleichungen lösen > e-Funktionen lösen > e-Funktionen mittels Substitution lösen

    

    Wenn in einer Gleichung zwei oder mehr e-Funktionen vorkommen muss die e-Funktion erst substituiert, d.h. ersetzt werden und am Ende der Rechnung wieder resubstituiert.Im folgenden Video wird anhand einer Abituraufgabe die Lösung solch einer Gleichung gezeigt.Das Video wird geladen ...