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Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses A kann durchaus durch das Eintreten eines Ereignisses B beeinflusst werden. Weiß man bereits das Ereignis B eingetreten ist oder eintritt, so kann man unter Kenntnis der bedingten Wahrscheinlichkeit eine bessere Aussage über die Wahrscheinlichkeit von A machen.

Merke

Sei $A, B \in \mathcal{P}(\Omega)$ und $P(B)>0$, dann ist $P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B. Hierbei ist $A \cap B$ die Schnittmenge von A und B und $P(A \cap B)$ die Wahrscheinlichkeit, dass A und B gemeinsam eintreten. Üblich ist auch die Bezeichnung $P_B(A)$.

Beispiel

Würfeln: Die Wahrscheinlichkeit beim Werfen eines Ikosaeders (W20) eine Zahl über 15 zu werfen unter der Bedingung, dass diese gerade ist lässt sich so leicht bestimmen:

$A=\{16, 17, 18, 19, 20\}, B=\{z \in \mathbb{N}: z \ gerade, z < 21 \}, \\A \cap B = \{16, 18, 20\},P(A|B)=\frac{\frac{3}{20}}{\frac{10}{20}}=\frac{3}{10}$.

Merke

Durch Umformen ergibt sich der Multiplikationssatz. Unter denselben Voraussetzungen wie oben gilt: $P(A \cap B)=P(A|B) P(B)$.

Im Fall von n Zufallsereignissen $A_1, A_2, \dots, A_n$ gilt $P(A_1 \cap A_2 \cap \dots A_n)=P(A_1) P(A_2|A_1) P(A_3|A_1 \cap A_2) \dots P(A_n|A_1 \cap \dots \cap A_{n-1})$.

Merke

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Seien $A, B_j \in \mathcal{P}(\Omega), \Omega = \cup_j B_j, \cap_j B_j = \emptyset$ und für alle j gelte $P(B_j)>0$, dann gilt $P(A)=\sum_j P(A|B_j) P(B_j)$.

Dieser Satz ist vor allem dann nützlich, wenn die  bedingten Wahrscheinlichkeiten von A bekannt sind und die Wahrscheinlichkeit von A ohne weitere Einschränkung gesucht wird.

Merke

Satz von Bayes
Seien A und B Ereignisse und $P(B)>0$, dann gilt $P(A|B)=\frac{P(B|A) P(A)}{P(B)}$.

Die bayessche Formel wird beispielsweise verwendet, wenn $P(A|B)$ bekannt, aber $P(B|A)$ gesucht wird. Oft ist es nur so möglich Rückschlüsse auf Wahrscheinlichkeiten zu ziehen.

Merke

Stochastische Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse A und B sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn $P(A \cap B) = P(A) P(B)$ gilt.

Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
Wird nach der Wahrscheinlichkeit $P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ gesucht, so ist A an die B geknüpft.
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Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

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