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Die perfekte Abiturvorbereitung

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses A kann durchaus durch das Eintreten eines Ereignisses B beeinflusst werden. Weiß man bereits das Ereignis B eingetreten ist oder eintritt, so kann man unter Kenntnis der bedingten Wahrscheinlichkeit eine bessere Aussage über die Wahrscheinlichkeit von A machen.

Merke

Sei $A, B \in \mathcal{P}(\Omega)$ und $P(B)>0$, dann ist $P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B. Hierbei ist $A \cap B$ die Schnittmenge von A und B und $P(A \cap B)$ die Wahrscheinlichkeit, dass A und B gemeinsam eintreten. Üblich ist auch die Bezeichnung $P_B(A)$.

Beispiel

Würfeln: Die Wahrscheinlichkeit beim Werfen eines Ikosaeders (W20) eine Zahl über 15 zu werfen unter der Bedingung, dass diese gerade ist lässt sich so leicht bestimmen:

$A=\{16, 17, 18, 19, 20\}, B=\{z \in \mathbb{N}: z \ gerade, z < 21 \}, \\A \cap B = \{16, 18, 20\},P(A|B)=\frac{\frac{3}{20}}{\frac{10}{20}}=\frac{3}{10}$.

Merke

Durch Umformen ergibt sich der Multiplikationssatz. Unter denselben Voraussetzungen wie oben gilt: $P(A \cap B)=P(A|B) P(B)$.

Im Fall von n Zufallsereignissen $A_1, A_2, \dots, A_n$ gilt $P(A_1 \cap A_2 \cap \dots A_n)=P(A_1) P(A_2|A_1) P(A_3|A_1 \cap A_2) \dots P(A_n|A_1 \cap \dots \cap A_{n-1})$.

Merke

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Seien $A, B_j \in \mathcal{P}(\Omega), \Omega = \cup_j B_j, \cap_j B_j = \emptyset$ und für alle j gelte $P(B_j)>0$, dann gilt $P(A)=\sum_j P(A|B_j) P(B_j)$.

Dieser Satz ist vor allem dann nützlich, wenn die  bedingten Wahrscheinlichkeiten von A bekannt sind und die Wahrscheinlichkeit von A ohne weitere Einschränkung gesucht wird.

Merke

Satz von Bayes
Seien A und B Ereignisse und $P(B)>0$, dann gilt $P(A|B)=\frac{P(B|A) P(A)}{P(B)}$.

Die bayessche Formel wird beispielsweise verwendet, wenn $P(A|B)$ bekannt, aber $P(B|A)$ gesucht wird. Oft ist es nur so möglich Rückschlüsse auf Wahrscheinlichkeiten zu ziehen.

Merke

Stochastische Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse A und B sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn $P(A \cap B) = P(A) P(B)$ gilt.

Multiple-Choice
Aus einem französischen Blatt werden die Karten Pik- und Kreuz-Ass entfernt. Es wird eine Karte zufällig verdeckt gezogen, dann wird angekündigt, ob es sich um eine schwarze Karte handelt oder nicht. Wie wahrscheinlich ist es, dass eine schwarze Bildkarte (Bube, Dame, König oder Ass) gezogen wurde, wenn bereits bekannt ist, dass die Karte schwarz ist?
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Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.