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Um von den verschiedenen möglichen Bewertungen (Aktienkurse, Gewinne bei Glücksspielen u.ä.) der Versuchsausgänge zu abstrahieren und gleichzeitig die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten zu erfassen, benötigt man eine recht weit gefasst Definiton. Diese soll vom Wahrscheinlichkeitsraum unabhängig sein.

Merke

Sei $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ auf ganz $\Omega$ definiert. Dann ist $X$ eine Zufallsvariable, auch Zufallsgröße. Sie heißt endlich, wenn $|X(\Omega)|<|\mathbb{N}|$ und diskret falls $|X(\Omega)|=|\mathbb{N}|$.

Da die wesentliche Information im Wertebereich, beziehungsweise der Verteilung, von X liegt, verwendet man oft die abkürzende Schreibweise $X=a$, anstelle der bekannten $X(e)=a$.

Merke

Sei $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ eine Zufallsvariable. Dann ist durch $P_X(I) := P(X \in I), I \subset \mathbb{R}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß, die Verteilung, definiert.

Die Verteilung $P_X$ beschreibt also welche Werte X mit welcher Wahrscheinlichkeit annimmmt. Sie ist damit für die Zufallsvariable X charakteristisch.

Merke

Die Funktion $F: \mathbb{R} \rightarrow \left[ 0,1 \right], F(x)=P(X \leq x)$ heißt Verteilungsfunktion von X.

Merke

Sei X ein Zufallsvariable und $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ eine Funktion. Gilt für alle $a,b \in \mathbb{R}$ mit $a<b: P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x$, dann ist f die Dichtefunktion von X.

Existiert zu einer Zufallsvariablen X eine Dichtefunktion f, so ist wird X stetig genannt. Weiter ist die Verteilungsfunktion von X gegeben durch $F(x)= \int_{-\infty}^x f(t)\, \mathrm{d}t$. Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable ist $EX= \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\, \mathrm{d}x$.

Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
Besonders wichtig für eine Zufallsvariable X ist ihre . Sie beschreibt die Werte von X und deren Wahrscheinlichkeit. Eng verwandt mit ihr ist die $F(x)=P(X \leq x)$.
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