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Die perfekte Abiturvorbereitung
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Binomialverteilung

Merke

Eine diskrete Zufallsvariable X mit Einzelwahrscheinlichkeiten $P(X=1)=p$ und $P(X=0)=1-p=q$ heißt Bernoulli-Größe.

Es gilt $EX= p$ und $V(X)=pq$. Man nennt die Fälle $X=1$ Erfolge (Treffer) und $X=0$ Misserfolge (Nieten). Führt man ein Bernoulli-Experiment n-mal hintereinander aus, so entsteht ein Bernoulli-Prozess, auch Bernoulli-Kette

Merke

Sei $S_n := \sum_{i=1}^n$ die Anzahl der Treffer nach n Versuchen. Betrachtet man die Verteilung von $S_n$ so ergibt sich die Binomialverteilung: $P(S_n=k)={n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}, k \in \{0,1, \dots ,n \}$.

Zählt man im zugehörigen Baumdiagramm die Pfade mit genau  k Erfolgen so ergibt sich ${n \choose k}$. Jeder dieser Pfade hat eine Wahrscheinlichkeit von $p^k (1-p)^{n-k}$. Zufallsvariablen X, die wie "$S_n$" gebildet werden, nennt man binomialverteilt. Übliche Schreibweisen für die entsprechende Verteilung sind $B(k|p,n)$ und $B_{n,p}(k)$. Es gilt $EX=n p$ und $V(X)=\sqrt{n p (1-p)}$.

In dem folgenden Video wird anhand einer Abituraufgabe erläutert, wann eine Binomialverteilung vorliegt. (Abituraufgabe Toto 1a)

Video: Binomialverteilung

 Im nächsten Video wird die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer berechnet.
(Abituraufgabe Toto 1b i)

Video: Binomialverteilung

 In diesem Video wird die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer berechnet.
(Abituraufgabe Toto 1b ii)

Video: Binomialverteilung

Multiple-Choice
Bei einer Tombola hat gewinnt jedes fünfte Los. Ein paar kauft gemeinsam 20 Lose. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide genau einen Gewinn erhalten?
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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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