abiweb
online lernen

Die perfekte Abiturvorbereitung
in

Kenngrößen von Verteilungen

Das arithmetische Mittel $\bar{x} = \sum_{i=1}^n \frac{x_i}{n}$ ist durch die Berechnung der Durchschnittsnote bekannt. Es bietet eine schnelle Vergleichsmöglichkeit des einzelnen mit der gesamten Klasse und kann herangezogen werden um Klassen miteinander zu vergleichen. Ganz ähnlich verhält es sich mit dem Erwartungswert.

Merke

Sei $n \in \mathbb{N}$ und X eine diskrete Zufallsgröße mit reellen Werten $x_n$, dann ist der Erwartungswert EX defininert als: $EX := \sum_{i=1}^n x_n P(X=x_n)$. Es gilt $EX \in \left[0, \infty \right]$.

Auch hier wird oft EX anstelle von E(X) geschrieben. Der Erwartungswert EX ist also eine gewichte Summe und beschreibt anschaulich den "Mittelwert" der Zufallsvariable X. Man kann sich auch vorstellen, dass umgekehrt X Abweichungen vom "Mittel" EX beschreibt. Desweiteren sind je nach Lage des Erwartungswerts und der Verteilung von X auch andere Interpretationen möglich und so kann der Erwartungswert häufig als erste Einschätzung für die zu erwartenden Werte dienen.

Ähnlich wie die Durchschnittsnote $3,0$ einer Klassenarbeit nichts über den Anteil der sehr guten Arbeiten verrät, ist der Erwartungswert ungeeignet um den Anteil, also die Häufigkeit und Art, der Ausreißer an einer Zufallsgröße zu beurteilen. Um solche Aussagen zu ermöglichen verwendet man die Varianz.

Merke

Sei X eine Zufallsgröße und EX ihr Erwartungswert, dann ist $V(X) := E(X-EX)^2$ die Varianz von X. Manchmal wird auch der anschaulichere Begriff Streuung verwendet. Hierbei wird dann oft $D^2 X$ anstatt $V(X)$ verwendet.

Mit ihr wird sozusagen die mittlere quadratische Abweichung gemessen. Allerdings wird durch das quadrieren auch die Einheit der Zufallsgröße quadriert. Dies lässt sich leicht durch Wurzelziehen korrigieren und es ergibt sich die Definition der Standardabweichung.

Merke

Mit denselben Voraussetzungen wie oben ist $\sigma_X = \sqrt{V(X)}$ die Standardabweichung. Passend zum $D^2 x$ für die Varianz kann hier auch $DX$ verwendet werden.

Multiple-Choice
In welchem Verhältnis stehen Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariable X?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 20% bei deiner Kursbuchung!

20% Coupon: abitur20

Zu den Online-Kursen