Normalverteilung

Stochastik

Das Kapitel Normalverteilung in unserem Online-Kurs Stochastik besteht aus folgenden Inhalten:

1. Dichtefunktion der Normalverteilung

   Normalverteilung > Dichtefunktion der Normalverteilung

   

   ... Graphen von Dichten von NormalverteilungenDie Dichten von Normalverteilungen haben ein Maximum an der Stelle $\mu$, die Graphen sind symmetrisch zur Geraden $x=\mu$ und haben für $x \rightarrow \pm \infty$ die x-Achse als Asymptote. Mit zunehmender Standardabweichung $\sigma$ werden ihre Graphen flacher und breiter, umso kleiner $\sigma$ wird umso höher und schmaler werden die Graphen.Standard-NormalverteilungIst $X \sim N (0 ; 1 )$-verteilt, ...

2. Verteilungsfunktion der Normalverteilung

   Normalverteilung > Verteilungsfunktion der Normalverteilung

   

   ... = \frac{X-\mu}{\sigma}$ über die Standardnormalverteilung berechnen.Inverse VerteilungsfunktionHäufig geht es in Aufgaben darum, zu einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit, ein passendes Intervall zu bestimmen. Dazu benötigt man die inverse Verteilungsfunktion $ F^{- \, 1}_{N(\mu \, ; \sigma)}$ bzw. $ \Phi^{- \, 1 }$.Bestimmen Sie ein Gewicht m, so dass oberhalb davon maximal 1 % der Gewichte der Golfbälle liegen.$P ( X > m ) \leq 0,01  ...

3. Näherung für die Binomialverteilung

   Normalverteilung > Näherung für die Binomialverteilung

   

   ... Diese Grenzfunktion ist die Dichte der Standardnormalverteilung $\large \varphi$.Näherung der BinomialverteilungEs ergeben sich die folgenden Näherungsformeln, die gute Werte liefern, falls die Laplace-Bedingung $\large \sigma > 3$ erfüllt ist.Näherungsformeln von De Moivre-LaplaceIst $X \sim b_{n ; p }$ mit $\mu = np$ und $\sigma=\sqrt{np(1-p)} > 3$ dann ist $ \large \bf P(X = k ) \approx \frac{1}{\sigma} \varphi \left( \frac{k - \mu}{\sigma} ...

4. Zentraler Grenzwertsatz

   Normalverteilung > Zentraler Grenzwertsatz

   

   ... Binomialverteilung lässt sich durch die Normalverteilung annähren, sondern auch Summen von unabhängigen Zufallsgrößen mit endlichen Erwartungswerten und VarianzenZentraler Grenzwertsatz$X_k$ seien beliebig verteilte, unabhängige Zufallsgrößen mit Erwartungswerten $\mu_k$ und Varianzen $\sigma_k^2$. Dann gilt für die Zufallsgröße $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ mit dem Erwartungswert $\mu = \mu_1 + \mu_2 + \cdots + \mu_n$ und der Varianz ...