Zufallsgrößen

Stochastik

Das Kapitel Zufallsgrößen in unserem Online-Kurs Stochastik besteht aus folgenden Inhalten:

1. Definition Zufallsgröße

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   Eine Funktion $\large \bf X: \Omega  \rightarrow \mathbb{R}$ die jedem Ergebnis $\omega \in \Omega$ eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet heißt Zufallsgröße (Zufallsvariable).Das Video wird geladen...(stochastik-zufallsvariable)1. Die Augensumme S beim zweimaligen Würfeln eines Würfels$S ( (1 ; 1 ) )  = 2 , S ( ( 1 ; 2 ) )  = 3 ,  …. ,  S ( (6 ; 6) ) = 12$2. Ziehen aus einer Urne mit roten und schwarzen Kugeln.$X(rot) = ...

2. Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion

   Zufallsgrößen > Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion

   

   Hat ein Zufallsvariable $X$ nur eine endliche Wertemenge $W_X = \{x_1, x_2, \dots , x_n \}$, dann kann man jedem Wert von $X$ eine Wahrscheinlichkeit zuordnen.Wahrscheinlichkeitsfunktion$\large \bf f : W_X \rightarrow [ 0 ; 1 ]$$\bf f(x_i)=P(X = x_i)$mit$ f(x_i) \geq 0$ und $\sum_{i=1}^n f(x_i) = 1$Stetige ZufallsgrößenIst die Wertemenge  der Zufallsvariable $X$ eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen z.B. ein  Intervall $[a ; b] \in \mathbb{R}$, dann kann ...

3. Verteilungsfunktion

   Zufallsgrößen > Verteilungsfunktion

   

   Die Verteilungsfunktion F einer Zufallsgröße $X$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass nur Werte bis zu einer bestimmten Größe angenommen werden.$ \large \bf F(x) = P( X \leq x ) = \sum_{x_i \leq x } f(x_i) $    (für endliche Zufallsgrößen)$ \large \bf F(x) = P ( X \leq x ) = \int_{- \infty}^x f(t) dt $   (für stetige Zufallsgrößen)Die Verteilungsfunktion F(k) summiert (kumuliert) dazu die Wahrscheinlichkeiten ...

4. Erwartungswert einer Zufallsgröße

   Zufallsgrößen > Erwartungswert einer Zufallsgröße

   

   Der Erwartungswert $EX$ (oder $E(X)$ oder $\large \mu $) ist ein Mittelwert, bei dem die einzelnen Werte $x_i$ von $X$ mit ihren Wahrscheinlichkeiten $P( X = x_i )$ gewichtet werden.Der Erwartungswert gibt an, mit welchem Wert man im Durchschnitt rechnen kann, wenn man die Zufallsgröße $X$ sehr oft auswertet (d.h. das zugrundeliegende Zufallsexperiment oft wiederholt).Erwartungswert$\large \bf EX = \mu = \sum_{i=1}^n x_i \cdot P(X = x_i)$   (für endliche Zufallsgrößen)$\large ...

5. Varianz einer Zufallsgröße

   Zufallsgrößen > Varianz einer Zufallsgröße

   

   Bei Zufallsvariablen interessiert man sich neben dem Erwartungswert $EX$ auch dafür, wie weit die Werte von $X$ vom Erwartungswert abweichen (streuen). Dazu verwendet man die Varianz $Var X$ (oder $\large \sigma ^2$)  die wie folgt definiert ist.Varianz und Standardabweichung$ \large \bf Var X = \sigma ^2 = E (X - EX)^2 = \sum_{i=1}^n  (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)$(für endliche Zufallsgrößen)$  \large \bf Var X = \sigma ^2= \int_{- \infty}^{+ \infty} (x ...