Differentialrechnung

Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

Das Kapitel Differentialrechnung in unserem Online-Kurs Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2) besteht aus folgenden Inhalten:

1. Differentialrechnung

   Differentialrechnung

   

   In diesem Kapitel zur Differentialrechnung geht es um die Berechnung von Tangenten- und Normalengleichungen und um Optimierungsprobleme sowie um die Bestimmung von Funktionsgleichungen unter gegebenen Bedingungen.

2. Tangenten- und Normalengleichungen

   Differentialrechnung > Tangenten- und Normalengleichungen

   

   Sowohl die Tangentengleichungen als auch die Normalengleichung lassen sich durch verschiedene Algorithmen bestimmen. Dazu ist wichtig zu wissen, dass die Gleichung einer Geraden durch  $g(x)=m x + n$ definiert wird. Tangenten und Normalen sind ja Geraden. Außerdem muss du wissen, dass die Steigung an einer Stelle durch die Ableitung an einer Stelle berechnet werden kann und das Tangente und Normale senkrecht aufeinander stehen.Steigung an der Stelle $x_0$ = Ableitung an der Stelle $x_0$$m=f^\prime(x_0)$Tangente ...

3. Extremwertaufgaben (Optimierung)

   Differentialrechnung > Extremwertaufgaben (Optimierung)

   

   Als Beispiel zu Extremwertaufgaben mag das Optimierungsproblem eines Getränkedosenherstellers dienen. Eine Dose soll vereinfacht als Zylinder dargestellt sein. Das Problem besteht nun darin, zu vorgegebenem Volumen, die Oberfläche in Abhängigkeit vom Radius zu minimieren. Das Vorgehen ist immer dasselbe und wird am oben genannten Beispiel illustiert.Die Zielfunktion (in anderen Zusammenhängen auch Zielfunktional genannt) finden: Die Oberfläche in Abhängigkeit vom Radius ...

4. Bestimmen von Funktionsgleichungen

   Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen

   

   Ein nicht zuvernachlässigendes Thema ist das Bestimmen von Funktionsgleichungen unter gegebenen Bedingungen.Wir können dabei drei Themenbereiche unterscheiden:Interpolation / RegressionEs sind mehrere Punkte eines Graphen gegeben und es soll eine Ausgleichsfunktion/Regressionsfunktion/Interpolationsfunktion gefunden werden.TrassierungEs sind zwei Teilfunktionen gegeben und es soll eine Verbindungsfunktion bestimmt werden.SteckbriefaufgabenEs werden bestimmte Bedingungen an die Funktion ...

5. Regression und Interplolation

   Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Regression und Interplolation

   

   Der erste Abschnitt beschreibt, was Regression und Interpolation ist und wie Regressionsfunktionen mit dem Taschenrechner berechnet werden.RegressionBei der Regression wird eine Funktiongleichung bestimmt, welche gut zu den gegebenen Punkten passt. Nimmt man beispielsweise eine Reihe von Messwerten auf und es ist nicht klar in welchem Zusammenhang diese stehen, ist es nötig durch "Rückwärtsrechnen" eine Funktion zu bestimmen, die allen Punkten "möglichst nahe kommt". Die Aufgabenstellung ...

6. Trassierung

   Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Trassierung

   

   Bei der Trassierung sind zwei Teilfunktionen gegeben und es soll eine Verbindungsfunktion bestimmt werden.Dabei sind die Begriffe ohne Sprung, ohne Knick und krümmungsruckfrei zu kennen und zu beachten. Außerdem ist es wichtig den richtigen Grad der gesuchten Funktion zu bestimmen.In diesem Abschnitt wird erst allgemein und dann an einem Beispiel die Vorgehensweise erläutert, wie eine solche Funktion zu bestimmen ist.

7. Begriffe der Trassierung

   Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Trassierung > Begriffe der Trassierung

   

   Bei einer Trassierungsaufgabe sind zwei Strassenstücke entweder als Funktion (g(x), h(x)) oder oft auch als Skizze gegeben.Die gesuchte Funktion f(x) muss ohne Sprung in die gegebenen Funktionen g(x) und h(x) übergehen, d.h. an dem Punkt an dem die gegebene Funktion aufhört, muss die gesuchte Funktion anfangen.Sprung, Knick, KrümmungsruckAußerdem muss aus der Aufgabenstellung hervorgehen, ob die gesuchte Funktion ohne Knick oder auch ohne Krümmungsruck an die gegebenen ...

8. Vorgehen bei der Trassierung

   Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Trassierung > Vorgehen bei der Trassierung

   

   Um eine Trassierungsaufgabe zu lösen, sind verschiedene Schritte nötig. Das Vorgehen wird hier vorgestellt:Analyse der AufgabenstellungZu Beginn wird die Aufgabenstellung sorgfältig gelesen, um herauszufinden welchen Grad die Funktion haben muss.Treten nur die Begriffe ohne Sprung und ohne Knick / knickfrei auf hat die gesuchte Funktion den Grad 3.$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$Tritt zusätzlich der Begriff krümmungsruckfrei auf hat die gesuchte Funktion den Grad 5.$f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$andere ...

9. Beispiel einer Trassierung

   Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Trassierung > Beispiel einer Trassierung

   

   Bestimmen Sie eine Funktion für den Straßenverlauf zwischen den Punkten P und Q, die eine Verbindung ohne Knick und Krümmungsruck beschreibt.Mit dem zuvor erlernten Vorgehen lässt sich diese Trassierungsaufgabe lösen.Analyse der AufgabenstellungZu Beginn wird die Aufgabenstellung sorgfältig gelesen, um herauszufinden welchen Grad die Funktion haben muss.In diesem Text steht "ohne Knick und Krümmungsruck". Das Wort ohne Sprung fehlt zwar wird aber immer vorausgesetzt. ...

10. Steckbriefaufgaben

    Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Steckbriefaufgaben

    

    Bei Steckbriefaufgaben wird, wie auch bei der Trassierung, eine Funktionsgleichung gesucht. Gegeben sind aber nicht zwei Funktionen, sondern bestimmte Bedingungen die die Funktion erfüllen soll.Auf den nächsten zwei Seiten wird erst die allgemeine Vorgehensweise erläutert und dann in zwei Beispielen vertieft.

11. Vorgehen bei Steckbriefaufgaben

    Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Steckbriefaufgaben > Vorgehen bei Steckbriefaufgaben

    

    Bedingungen in einer Steckbriefaufgabe können z.B. sein:Die Funktion soll einen Hochpunkt bei (2/-1) und eine Nullstelle bei x=0 haben.Die Funktion soll einen Wendepunkt bei (0/2) haben und am Punkt (3/5) die Steigung -2.Die Funktion soll an der Stelle x=3 die Steigung -1 haben und die Nullstelle bei x=3 hat.Die Funktion an der Stelle x=1 einen Sattelpunkt hat und am Punkt (3/2) eine waagerechte Tangente.Anhand der Anzahl der aus den Aufgabenstellungen aufgestellten Bedingungen ergibt sich der ...

12. 1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe

    Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Steckbriefaufgaben > 1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe

    

    AufgabenstellungErmitteln Sie eine Funktion 4. Grades der Form $f(x)=ax^4+bx^2+c$, die einen Wendepunkt bei  (2/4) besitzt und an der Stelle 1 eine Steigung von 11 hat.Aufstellen der Bedingungeneinen Wendepunkt bei  (2/4) -> f(2)=4 und f´´(2)=0an der Stelle 1 eine Steigung von 11 -> f´(1)=11Aufstellen der Funktionsgleichung und der 1. und 2. AbleitungHier ist die Funktionsgleichung gegeben und die 1. und 2. Ableitung müssen noch aufgestellt werden.$f(x)=ax^4+bx^2+c$$f´(x)=4ax^3+2bx$$f´´(x)=12ax^2+2b$Aufstellen ...

13. 2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe

    Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Steckbriefaufgaben > 2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe

    

    AufgabenstellungDie Funktion soll an der Stelle x=-1 einen Sattelpunkt haben und am Punkt (3/5) eine waagerechte Tangente.Aufstellen der BedingungenFür diese Funktion müssen die gegebenen Bedingungen aufgestellt werden:Sattelpunkt bei x=-1                 ->    f´(-1)=0 und f´´(-1)=0waagerechte Tangente bei (3/5) ->    f´(3)=0 und f(3)=5Es gibt also ...