Funktionsklassen

Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

Das Kapitel Funktionsklassen in unserem Online-Kurs Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2) besteht aus folgenden Inhalten:

1. Funktionsklassen

   Funktionsklassen

   

   Im Kapital Analyis I wurden die ganzrationalen und die e-Funktionen behandelt, die fast immer im Abitur vorkommen. In diesem Modul Analysis 2 werden weitere Funktionstypen behandelt:Logarithmusfunktionengebrochenrationale FunktionenDabei werden nicht mehr alle Grundlagen besprochen, z.B. wie Extrempunkte berechnet werden, sondern es wird nur auf Besonderheiten eingegangen. Die Vorgehensweise zum Berechnen von Extrempunkten, Wendepunkten und Nullstellen ist für alle Funktionen gleich.

2. Logarithmusfunktionen

   Funktionsklassen > Logarithmusfunktionen

   

   Eine Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion. Umkehrfunktionen erhält man, indem die x-und die y-Werte vertauscht werden bzw. der Graf der Funktion an der Winkelhalbierenden gespiegelt wird.Exponentialfunktionen haben die Form: $y=b^x$.Werden jetzt x und y vertauscht und nach x umgestelltentsteht die Logarithmusfunktion y=log_b (x) (sprich Logarithmus von x zur Basis b)Spezielle Exponentialfunktionen sind die e-Funktion $y=e^x$ und die Exponentialfunktion zur Basis ...

3. gebrochenrationale Funktionen

   Funktionsklassen > gebrochenrationale Funktionen

   

   Sind $p$ und $q$ ganzrationale Funktionen, so ist $f(x)= \frac{p(x)}{q(x)}$ eine gebrochenrationale Funktion.Im Wesentlichen kann der gesamte technische Apparat verwendet werden, der zur Analyse von ganzrationalen Funktionen genutzt wird, so z.B. das Berechnen der Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte u.s.w.. Hier sollen lediglich Besonderheiten, der gebrochenrationalen Funktionen beleuchtet werden.Besonderheiten bei gebrochenrationalen FunktionenDa hier ein Bruch vorliegt, ist zu beachten, dass ...

4. senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich

   Funktionsklassen > gebrochenrationale Funktionen > senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich

   

   Nicht jede gebrochenrationale Funktion hat eine senkrechte Asymptote. Es gibt auch Funktionen bei denen der Nenner keine Nullstelle hat z.B. $f(x)= \frac{x^2-1}{x^2+2}$ oder bei denen eine hebbare Definitionslücke existiert, d.h. der Zähler und der Nenner haben eine gleiche Nullstelle, so dass dieser Linearfaktor gestrichen werden kann z.B. $f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)\cdot(x-1)}{x+1}=x-1$.Wenn der Zähler und der Nenner keine gemeinsamen Nullstellen haben, d.h. keine hebbare ...

5. waagerechte und schiefe Asymptoten

   Funktionsklassen > gebrochenrationale Funktionen > waagerechte und schiefe Asymptoten

   

   Neben den senkrechten Asymptoten, die an den Polstellen entstehen, gibt es aber auch waagerechte, schiefe und gekrümmte Asymptoten.Das asymptotische Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion hängt ausschließlich vom Verhältnis zwischen Zähler- und Nennergrad ab. Es werden drei verschiedene Fälle unterschieden:Grad des Zählers ist kleiner als Grad des Nenners1. Fall Grad des Zählers < Grad des NennersDie x-Achse d.h. f(x)=0 ist immer die waagerechte Asymptote.1. ...