Wachstums- und Zerfallsprozesse

Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

Das Kapitel Wachstums- und Zerfallsprozesse in unserem Online-Kurs Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2) besteht aus folgenden Inhalten:

1. Wachstums- und Zerfallsprozesse

   Wachstums- und Zerfallsprozesse

   

   ... beschreiben, benötigt man die Theorie zu Wachstums- und Zerfallsprozessen. Üblicherweise verwendet man für die zu untersuchende Größe (Bestand) die Funktion u und beschreibt ihren zeitlichen Verlauf. Die Veränderung von u nach $\Delta t$ Sekunden ist $\Delta u(t) = u(t + \Delta t) - u(t)$ (Änderung). Teilt man dies durch $\Delta t$ ergibt sich ein Analogon zum Grenzwert der schließlich auf die Ableitung (Änderungsrate) führt. So ist auch zu ...

2. lineares Wachstum

   Wachstums- und Zerfallsprozesse > lineares Wachstum

   

   Zunächst zum Prozess des linearen Wachstums.lineares WachstumGibt es $c \in \mathbb{R}$ so dass für alle t $u(t+1)=u(t)+a$ gilt, liegt lineares Wachstum vor. (Änderungsrate ist konstant, Steigung konstant)DGL: $u^\prime(t)=k$ mit Lösungsmenge $u(t)=k t +u(0)$Folgendarstellung: $a_{n+1}=k+ a_n \Rightarrow a_n = a_1+ k$Beispielaufgabe zum linearen WachstumEine typische Aufgabe zu linearen Wachstum ist:Ein Stalagmit in einer Höhle ist 1,2 m lang. Er wächst jährlich ...

3. exponentielles Wachstum

   Wachstums- und Zerfallsprozesse > exponentielles Wachstum

   

   Dieser Text betrachtet das exponentielle Wachstum und erklärt die, in diesem Zusammenhang wichtigen, Begriffe Halbwertzeit und Verdopplungszeit.Exponentielles Wachstummomentaner Bestand ~ Änderungsrate, d.h. u(t)~u´(t)DGL: $u^\prime(t)=k u(t)$ mit Lösungsmenge $u(t)=c e^{k t}$Folgendarstellung: $a_{n+1}=k a_n \Rightarrow a_n = a_1 k^{n-1}$Die Gleichung für exponentielles Wachstum lautet:$u(t)=c e^{k t}$, k ist der Wachstumskonstante, c=u(0)=Anfangsbestandk>0 Wachstumsprozessk<0 ...

4. beschränktes Wachstum

   Wachstums- und Zerfallsprozesse > beschränktes Wachstum

   

   Der letzte Prozess der betrachtet wird, ist das sogenannte beschränkte Wachstum. Begrenztes Wachstumbeim begrenzten oder beschränkten Wachstum gibt es eine Schranke S, der sich der Graph von oben (Zimmertemperatur beim Abkühlen von Kaffee) oder von unten (Platz in einer Petrischale beim Bakterienwachstum) nähern kann$S-u(t)$ ist das sogenannte Sättigungsmanko oder der Restbestand, welcher proportional zu $c \cdot e^{-k \cdot t}$$k (S-u(t))$ ist der Verbrauch.Verbrauch ~ Änderungsrate, ...

5. Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz

   Wachstums- und Zerfallsprozesse > beschränktes Wachstum > Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz

   

   Diese Aufgabe, die sich mit dem beschränkten Wachstum befasst, ist eine orginal Abituraufgabe für einen Grundkurs Mathematik.Lässt man heissen Kaffee eine Zeit lang stehen, kühlt sich der Kaffee bis auf die Umgebungstemperatur ab.Die Abkühlung geschieht nach dem Newtonschen Abkühlungsgesetz:$T(t) = (T_0 - T_U) e^{- k \cdot t} + T_U$Dabei bedeutet:T(t): Temperatur des Kaffees (in C) nach t Minuten,t : Zeit (in Minuten),$T_0$ : Temperatur des Kaffees (in C) zum Zeitpunkt ...

6. Newtonsches Abkühlungsgesetz: y-Wert berechnen

   Wachstums- und Zerfallsprozesse > beschränktes Wachstum > Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz > Newtonsches Abkühlungsgesetz: y-Wert berechnen

   

   Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz Teil 1.1Die Anfangstemperatur des Kaffees in einer Tasse sei 80° C, die Raumtemperatur 21° Cund der Abkühlungsfaktor 0,13 .Weisen Sie nach, dass die Temperatur des Kaffees nach 10 Minuten 37°,1 °C beträgt, undberechnen Sie die Temperatur des Kaffees nach 2 und nach 5 Minuten.Skizzieren Sie den Graphen der Funktion T in dem Intervall [0; 30].Lösung in nachfolgendem Video.Das Video wird geladen ...Das Video wird geladen ...

7. Newtonsches Abkühlungsgesetz: x-Wert bestimmen

   Wachstums- und Zerfallsprozesse > beschränktes Wachstum > Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz > Newtonsches Abkühlungsgesetz: x-Wert bestimmen

   

   Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz Teil 1.2Man verbrüht sich nicht, wenn die Temperatur des Kaffees unter 45° C gesunken ist.Ermitteln Sie ohne Rechnung anhand einer geeigneten Skizze die Wartezeit, bis der Kaffeeeine geringere Temperatur als 45° C hat.Lösung in nachfolgendem Video.Das Video wird geladen ...Weiterführend zur Abituraufgabe wird in dem unten gezeigten Video die rechnerische Lösung gezeigt.Das Video wird geladen ...

8. Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ungleichung lösen

   Wachstums- und Zerfallsprozesse > beschränktes Wachstum > Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz > Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ungleichung lösen

   

   In einem Becher kühlt der Kaffee etwas langsamer ab. Seine Temperatur T verändert sichnach folgender Gleichung: $T(t) = 59 e{-0,1 t} + 21 . (Diese gilt für die Aufgaben 2.1, 3.1 und 3.2 sowie 4.)Teilaufgabe 2.1 Berechnen Sie, wie lange man jetzt mindestens warten muss, um den Kaffee ohne Verbrühungsgefahr trinken zu können.Lösung in nachfolgendem Video.Das Video wird geladen ...

9. Newtonsches Abkühlungsgesetz: Abkühlungsfaktor berechnen

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   Teilaufgabe 2.2In einem anderen Becher wird bei sonst unveränderten Bedingungen schon nach genau 3Minuten die Temperatur von 45° C unterschritten. Bestimmen Sie den Abkühlungsfaktorfür diesen Becher.Die Lösung zeigt das Video.Das Video wird geladen ...

10. Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung einer e-Funktion

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    Teilaufgabe 3.1Berechnen Sie die Abkühlgeschwindigkeit für t = 0 . Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu demdie Abkühlungsgeschwindigkeit halb so groß ist wie für t = 0 .Die Lösung zeigt das Video.Das Video wird geladen ...

11. Newtonsches Abkühlungsgesetz: Gleichung beweisen

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    Teilaufgabe 3.2Newton hat sein Abkühlungsgesetz auch in folgender Form angegeben: $T´(t) = -k (T(t)-T_U)$Zeigen Sie, dass diese Gleichung für die Abkühlungsfunktion des Kaffeebechers gilt.Das Video wird geladen ...

12. Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung der Abkühlungsfunktion

    Wachstums- und Zerfallsprozesse > beschränktes Wachstum > Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz > Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung der Abkühlungsfunktion

    

    Teilaufgabe 3.3Die Abkühlungsgeschwindigkeit in einem besonderen (sehr gut isolierten) Gefäß, das in demselben Raum steht, wird durch folgende Funktion beschrieben:  $ A(t) = -0,69 e^{-0,01t}, t \ge 0$ .Ermitteln Sie die zugehörige Abkühlungsfunktion und die Anfangstemperatur.Das Video wird geladen ...

13. Newtonsches Abkühlungsgesetz: Integral berechnen

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    Teilaufgabe 4.Berechnen Sie unter Angabe einer Stammfunktion das Integral$$\frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2}{ T(t) d }$$für $t_2 = 15 $ und $t_1 = 5$.Deuten Sie das Integral im Sachzusammenhang.Das Video wird geladen ...Das Video wird geladen ...

14. Logistisches Wachstum

    Wachstums- und Zerfallsprozesse > Logistisches Wachstum

    

    Logistisches WachstumÄnderungsrate ~ $r \cdot u(t) \cdot (S-u(t))$DGL: $u^\prime(t)=r \cdot u(t) \cdot (S-u(t))$ ($k=r \cdot S$) mit Lösungsmenge $u(t) = \frac{S}{1+a e^{-k t}}$Folgendarstellung für $0<k<\frac{1}{S}: a_{n+1} = a_n + r a_n (S-a_n)$Die Gleichung für logistisches Wachstum lautet:1. Variante$u(t)=\frac{S}{1+a e^{-k t}}$k ist die Wachstumskonstante, S ist die Schranke, $\frac{S}{1+a}$ ist der Anfangsbestand2. Variante$u(t)=\frac{c \cdot S}{c+(S-c) \cdot e^{-k ...

15. Aufgabe zum logistischen Wachstum

    Wachstums- und Zerfallsprozesse > Logistisches Wachstum > Aufgabe zum logistischen Wachstum

    

    Wachstum von Fichten (LK)Fichten stellen in Deutschland mit über 40% der Gesamtwaldfläche die wichtigste Holzart dar. In einer Region wurden folgende Durchschnittswerte gemessen:Alter des Baumesin Jahren0(Setzling)20406080100120140160Durchmesser in m(bei älteren Fichten gemessenin 1,30 m Höhe)0,050,100,220,330,540,750,830,910,95a) Die zeitliche Entwicklung der Dicke der Fichten in dieser Region kann durch eineFunktion d mit $d(t)=\frac{1}{1+e^{-0,04(t-80)}}$ näherungsweise ...

16. Logistisches Wachstum - Differentialgleichung

    Wachstums- und Zerfallsprozesse > Logistisches Wachstum > Logistisches Wachstum - Differentialgleichung

    

    Aufgabenstellung: Wachstum von FichtenFichten stellen in Deutschland mit über 40% der Gesamtwaldfläche die wichtigste Holzart dar. In einer Region wurden folgende Durchschnittswerte gemessen:Alter des Baumesin Jahren0(Setzling)20406080100120140160Durchmesser in m(bei älteren Fichten gemessenin 1,30 m Höhe)0,050,100,220,330,540,750,830,910,95b)Nennen Sie Annahmen, die logistischem Wachstum zu Grunde liegen.Stellen Sie die Differentialgleichung für die zeitliche Entwicklung ...

17. Logistisches Wachstum - Wachstum Fichtenumfang berechnen

    Wachstums- und Zerfallsprozesse > Logistisches Wachstum > Logistisches Wachstum - Wachstum Fichtenumfang berechnen

    

    Aufgabenstellung: Wachstum von FichtenFichten stellen in Deutschland mit über 40% der Gesamtwaldfläche die wichtigste Holzart dar. In einer Region wurden folgende Durchschnittswerte gemessen:Alter des Baumesin Jahren0(Setzling)20406080100120140160Durchmesser in m(bei älteren Fichten gemessenin 1,30 m Höhe)0,050,100,220,330,540,750,830,910,95c)Oft kennen Forstleute das Alter eines Baumes nicht. Der Umfang ist meist einfacherzu messen als der Durchmesser. Ermitteln Sie unter ...

18. Logistisches Wachstum - Approximation

    Wachstums- und Zerfallsprozesse > Logistisches Wachstum > Logistisches Wachstum - Approximation

    

    Aufgabenstellung: Wachstum von FichtenFichten stellen in Deutschland mit über 40% der Gesamtwaldfläche die wichtigste Holzart dar. In einer Region wurden folgende Durchschnittswerte gemessen:Alter des Baumesin Jahren0(Setzling)20406080100120140160Durchmesser in m(bei älteren Fichten gemessenin 1,30 m Höhe)0,050,100,220,330,540,750,830,910,95d) Die zeitliche Entwicklung der Dicke der Fichten soll durch eine Funktion anderenTyps als im Aufgabenteil a) approximiert werden.Beschreibe ...