Mittelwert, Median und Modus
Mittelwert (arithmetisches Mittel)
Um die Lage der auftretenden Merkmalsausprägungen, grob zu beschreiben, werden verschiedene Lageparameter verwendet. Einer der am meisten verwendeten ist das arithmetische Mittel (oder häufig auch Mittelwert) $\large \bar{x}$ bei dem die auftretenden Messwerte aufsummiert und durch ihre Anzahl n geteilt werden.
Methode
Bestimmen des arithmetischen Mittels
1. Werte aufsummieren $x_1+x_2+ \cdots +x_n $
2. Durch ihre Anzahl n teilen
3. Es ergibt sich $\large \bf \bar{x}= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$
Median
Ist der Umfang n der Messwerte nicht sehr groß können sogenannte Ausreißer (Werte die sehr weit von den anderen Werten abweichen) dazu führen, dass der Mittelwert die wirkliche Lage der Werte nicht besonders gut widerspiegelt.
In solchen Fällen bietet sich der Median (oder Zentralwert) $\large \tilde{x}$ als Alternative an. Sortiert man die Messwerte der Größe nach ist der Median der Wert, der in der Mitte steht, bei einer ungeraden Anzahl von Messwerten. Sonst verwendet man als Median den Mittelwert der beiden mittleren Messwerte.
Methode
Bestimmen des Medians
1. Die Messwerte der Größe nach sortieren es ergibt sich die Liste $x_1 , x_2 , \dots , x_n$
2. Die Anzahl n der Messwerte bestimmen.
3a. 1.Fall: n ist ungerade
dann ist der Median der Messwert an der Stelle $\frac{n+1}{2}$ also $\large \bf \tilde{x} = x_{\frac{n+1}{2}}$
3b. 2.Fall: n ist gerade
dann ist der Median der Mittelwert der beiden Werte an den Stellen $\frac{n}{2}$ und $\frac{n}{2}+1$ also $\large \bf \tilde{x} = \frac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$
Beispiel
Messwerte mit Ausreißer
Die Messwerte : 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 14 haben den Mittelwert $\large \bf \bar{x}=4,25$
Es sind aber, bis auf den Ausreißer 14, alle Werte kleiner als der Mittelwert. In diesem Fall liegt der Mittelwert nicht wirklich in der "Mitte" der Werte.
n = 8
damit ist der Median der Mittelwert der beiden Werte an den Stellen $\frac{8}{2} = 4$ und $\frac{8}{2}+1=5$
$\large \bf \tilde{x} = \frac{x_4+x_5}{2} = \frac{3+3}{2} = 3$
Der Median beschreibt in diesem Fall deutlich besser die Lage der Messwerte.
Modus (Modalwert)
Treten in einer Messung ein oder mehrere Werte besonders häufig auf, dann kann man das mit dem Modus (oder Modalwert) $\large \hat{x}$ gut beschreiben. Der Modus ist der Wert, der in der Messreihe am häufigsten vorkommt. Es kann passieren, dass es mehrere Modalwerte gibt.
Beispiel
Auftreten von mehreren Modalwerten
In der Messreihe 78, 80, 80, 80, 82, 89, 93, 102, 102, 107, 109, 110, 110, 110, 112, 116 tauchen die beiden Wert 80 und 110 am häufigsten nämlich genau dreimal auf. Damit gibt es zwei Modalwerte $\large \hat{x}_1=80$ und $\large \hat{x}_2=110$
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