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Varianz und Standardabweichung

Die Lageparametern allein geben noch kein besonders aussagekräftiges Bild, über die Verteilung der Messwerte ab. Sie geben keinen Aufschluss darüber, ob die Werte sich alle in der Nähe des Mittelwerts befinden oder sehr stark streuen. Dafür werden die Streuungsparameter gebraucht.

Beispiel

Vergleich Klassenarbeiten

Die Tabelle zeigt die Ergebnisse der letzten Deutscharbeit von drei 9. Klassen. Man stellt fest, dass alle Klassen sowohl die gleiche Durchschnittsnote (Mittelwert), als auch den gleichen Median aufweisen. Die Verteilungen der Noten sind allerdings sehr unterschiedlich.

Notenspiegel

Note 1 2 3 4 5 6
Klasse 9a 4 4 8 6 3 0
Klasse 9b 2 6 7 10 0 0
Klasse 9c 8 0 4 0 5 2

Ergebnis der letzten Deutscharbeit

Spannweite

Um den Bereich in dem die Messwerte auftreten zu beschreiben, bietet sich die Spannweite (engl. Range), die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Messwert an.

$\Large R_n=x_{max}-x_{min}$

Varianz

Andere Streuungsparameter betrachten die Lage der Messwerte in Bezug auf den Mittelwert. Der wichtigste ist die Varianz (Streuung), das ist der mittlere quadratische Abstand vom Mittelwert $\large \bf \bar{x}$.

$\Large s^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+ \cdots +( x_n-\bar{x})^2}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(x_k-\bar{x})^2$

Bei der empirischen Varianz wird durch (n - 1) und nicht n geteilt

$\Large s_{n-1}^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+ \cdots +( x_n-\bar{x})^2}{n-1}=\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^n(x_k-\bar{x})^2$

Standardabweichung

Häufig wird auch die Quadratwurzel der Varianz, die Standardabweichung verwendet.

$\Large s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(x_k-\bar{x})^2}$

bzw für die empirische Standardabweichung

$\Large s_{n-1} = \sqrt{s_{n-1}^2} = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^n(x_k-\bar{x})^2}$

Die Division durch den Umfang n der Messreihe (Stichprobe) liefert einen Durchschnittswert für die Abweichung vom Mittelwert. Bei der empirischen Varianz wird durch (n - 1) geteilt, das hat für statistische Untersuchungen Vorteile. Allerdings kann man bei großem n auch durch n teilen, weil der Unterschied dann sehr klein wird.

Multiple-Choice
Bestimmen Sie die Standardabweichung s der geraden natürlichen Zahlen von 1 bis 20.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Vorstellung des Online-Kurses StochastikStochastik
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stochastik

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
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  • 13
  • 107
  • 15

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