Varianz und Standardabweichung

Die Lageparametern allein geben noch kein besonders aussagekräftiges Bild, über die Verteilung der Messwerte ab. Sie geben keinen Aufschluss darüber, ob die Werte sich alle in der Nähe des Mittelwerts befinden oder sehr stark streuen. Dafür werden die Streuungsparameter gebraucht.

Spannweite

Um den Bereich in dem die Messwerte auftreten zu beschreiben, bietet sich die Spannweite (engl. Range), die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Messwert an.

$\Large R_n=x_{max}-x_{min}$

Varianz

Andere Streuungsparameter betrachten die Lage der Messwerte in Bezug auf den Mittelwert. Der wichtigste ist die Varianz (Streuung), das ist der mittlere quadratische Abstand vom Mittelwert $\large \bf \bar{x}$.

$\Large s^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+ \cdots +( x_n-\bar{x})^2}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(x_k-\bar{x})^2$

Bei der empirischen Varianz wird durch (n - 1) und nicht n geteilt

$\Large s_{n-1}^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+ \cdots +( x_n-\bar{x})^2}{n-1}=\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^n(x_k-\bar{x})^2$

Standardabweichung

Häufig wird auch die Quadratwurzel der Varianz, die Standardabweichung verwendet.

$\Large s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(x_k-\bar{x})^2}$

bzw für die empirische Standardabweichung

$\Large s_{n-1} = \sqrt{s_{n-1}^2} = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^n(x_k-\bar{x})^2}$

Die Division durch den Umfang n der Messreihe (Stichprobe) liefert einen Durchschnittswert für die Abweichung vom Mittelwert. Bei der empirischen Varianz wird durch (n - 1) geteilt, das hat für statistische Untersuchungen Vorteile. Allerdings kann man bei großem n auch durch n teilen, weil der Unterschied dann sehr klein wird.