Berechnung der Extrempunkte
Methode
Um die Extrempunkte zu berechnen, müssen Sie folgende Schritte ausführen:
- die erste und die zweite Ableitung berechnen ($f'(x)$ und $f''(x)$)
- die erste Ableitung = Null setzen und mit $f´(x)=0$ die Extremstelle $x_E$ berechnen (Gleichung nach x auflösen), d.h. den x-Wert des Extrempunktes berechnen
- mit $f''(x_E)$ überprüfen, ob der Extrempunkt ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist.
Dazu wird die Extremstelle in die zweite Ableitung eingesetzt.
Ist $f''(x_E) < 0$ ist der Extrempunkt ein Hochpunkt (HP).
Ist $f''(x_E) > 0$ ist der Extrempunkt ein Tiefpunkt (TP).
ist $f''(x_E)=0$ ist es kein Extrempunkt, sondern ein sogenannter Sattelpunkt (SP). - mit $f(x_E)=y_E$ den y-Wert des Extrempunktes berechnen.
- Extrempunkt aufschreiben $(x_E | y_E)$ z.B HP $(2|3)$
Mit zwei Beispielen wollen wir einige Fälle kurz verdeutlichen:
Beispiel
1. Beispiel: $f(x)=-3x^2+12x$
- $f'(x)=-6x+12$ und $f ''(x)=-6$
- $0=-6x+12$ Gleichung auflösen: $x_E =2$
- $f''(x_E)=f''(2)=-6
- $f(x_E)=f(2)=-3 \cdot 2^2 +12 \cdot 2=12$
- HP $(2|12)$
Beispiel
2. Beispiel: $f(x)=0,5x^3+1$
- $f'(x)=1,5x^2$ und $f''(x)=3x$
- $0=1,5x^2$
Gleichung auflösen: Doppelte Nullstelle bei $x_E=0$ und somit Verdacht auf Sattelpunkt - $f''(0)=0$ -> kein TP oder HP, sondern SP
- $f(0)=1$
- Sattelpunkt bei SP $(0|1)$
Damit haben wir alle möglichen Fälle betrachtet.
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