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Berechnung der Extrempunkte

Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 / Extrempunkte

Methode

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Um die Extrempunkte zu berechnen, müssen Sie folgende Schritte ausführen:

  1. die erste und die zweite Ableitung berechnen ($f'(x)$ und $f''(x)$)
  2. die erste Ableitung = Null setzen und mit $f´(x)=0$ die Extremstelle $x_E$ berechnen (Gleichung nach x auflösen), d.h. den x-Wert des Extrempunktes berechnen
  3. mit $f''(x_E)$ überprüfen, ob der Extrempunkt ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist.
    Dazu wird die Extremstelle in die zweite Ableitung eingesetzt.
    Ist $f''(x_E) < 0$ ist der Extrempunkt ein Hochpunkt (HP).
    Ist $f''(x_E) > 0$ ist der Extrempunkt ein Tiefpunkt (TP).
    ist $f''(x_E)=0$ ist es kein Extrempunkt, sondern ein sogenannter Sattelpunkt (SP).
  4. mit $f(x_E)=y_E$ den y-Wert des Extrempunktes berechnen.
  5. Extrempunkt aufschreiben $(x_E | y_E)$ z.B HP $(2|3)$

Mit zwei Beispielen wollen wir einige Fälle kurz verdeutlichen:

Beispiel

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1. Beispiel: $f(x)=-3x^2+12x$

  1. $f'(x)=-6x+12$ und $f ''(x)=-6$
  2. $0=-6x+12$  Gleichung auflösen: $x_E =2$
  3. $f''(x_E)=f''(2)=-6
  4. $f(x_E)=f(2)=-3 \cdot 2^2 +12 \cdot 2=12$
  5. HP $(2|12)$

Beispiel

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2. Beispiel: $f(x)=0,5x^3+1$

  1. $f'(x)=1,5x^2$ und $f''(x)=3x$
  2. $0=1,5x^2$
    Gleichung auflösen: Doppelte Nullstelle bei $x_E=0$ und somit Verdacht auf Sattelpunkt
  3. $f''(0)=0$ -> kein TP oder HP, sondern SP
  4. $f(0)=1$
  5. Sattelpunkt bei SP $(0|1)$

Damit haben wir alle möglichen Fälle betrachtet.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung Analysis I
    • Einleitung zu Einleitung Analysis I
  • Verständnis der Ableitung
    • Einleitung zu Verständnis der Ableitung
    • Was ist die Ableitung?
    • Die graphische Ableitung
      • Einleitung zu Die graphische Ableitung
      • Punkte mit waagerechter Tangente
        • Einleitung zu Punkte mit waagerechter Tangente
        • Extrempunkte graphisch
        • Sattelpunkte
      • Wendepunkte graphisch
        • Einleitung zu Wendepunkte graphisch
        • Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
        • Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
      • Vergleich der Wendepunkte
      • Graphen ableiten
  • Ableiten
    • Einleitung zu Ableiten
    • Ableitungsregeln
      • Einleitung zu Ableitungsregeln
      • Potenzregel
      • Faktorregel
      • Summenregel
      • Produktregel
      • Quotientenregel
      • Kettenregel
      • Komplexe Funktionen ableiten
      • Sinus, Cosinus, e-Funktion und Logarithmus ableiten
    • Kurvenscharen ableiten
    • Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
  • Grundaufgaben der Analysis
    • Einleitung zu Grundaufgaben der Analysis
    • y-Wert berechnen
    • x-Wert berechnen
    • Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
    • Punkt zu einer gegebenen Steigung berechnen
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
    • Schnittpunkte mit den Achsen
      • Einleitung zu Schnittpunkte mit den Achsen
      • y-Achsenabschnitt
      • Nullstellen
      • Klassifizierung der Nullstellen
    • Extrempunkte
      • Einleitung zu Extrempunkte
      • Bedingungen für Extrempunkte
      • Berechnung der Extrempunkte
    • Wendepunkte
      • Einleitung zu Wendepunkte
      • Bedingungen für Wendepunkte
      • Berechnung von Wendepunkten
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Globalverhalten
    • Wertebereich
    • Monotonie
    • Graph
    • Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    • Funktionsuntersuchung im Abitur
  • Einführung in die Integralrechnung
    • Einleitung zu Einführung in die Integralrechnung
    • Von der Summe zum Integral
    • Die Stammfunktion und das unbestimmte Integral
    • Integrationsregeln
      • Einleitung zu Integrationsregeln
      • Potenzregel der Integration
      • lineare Substitution
    • Der Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechung
    • Das bestimmte Integral
  • Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • Einleitung zu Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • graphisches Integrieren
    • Flächenberechnung
      • Einleitung zu Flächenberechnung
      • Fläche im Intervall
      • Fläche zwischen Graph und x-Achse
      • Fläche zwischen zwei Graphen
    • Die Integralrechung im Abitur
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen
    • Besonderheiten von Kurvenscharen
      • Einleitung zu Besonderheiten von Kurvenscharen
      • Klassifizierung von Kurvenscharen
        • Einleitung zu Klassifizierung von Kurvenscharen
        • Kurvenschar Bruch
        • Kurvenschar Wurzel 1
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        • Kurvenschar Hochpunkt/Tiefpunkt
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    • Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung
      • Einleitung zu Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung
      • kubische Funktionenschar
        • Einleitung zu kubische Funktionenschar
        • Definitionsbereich und Symmetrie kubische Schar
        • Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar
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