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Methode

Um die Extrempunkte zu berechnen, müssen Sie folgende Schritte ausführen:

  1. die erste und die zweite Ableitung berechnen ($f'(x)$ und $f''(x)$)
  2. die erste Ableitung = Null setzen und mit $f´(x)=0$ die Extremstelle $x_E$ berechnen (Gleichung nach x auflösen), d.h. den x-Wert des Extrempunktes berechnen
  3. mit $f''(x_E)$ überprüfen, ob der Extrempunkt ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist.
    Dazu wird die Extremstelle in die zweite Ableitung eingesetzt.
    Ist $f''(x_E) < 0$ ist der Extrempunkt ein Hochpunkt (HP).
    Ist $f''(x_E) > 0$ ist der Extrempunkt ein Tiefpunkt (TP).
    ist $f''(x_E)=0$ ist es kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt.
  4. mit $f(x_E)=y_E$ den y-Wert des Extrempunktes berechnen.
  5. Extrempunkt aufschreiben $(x_E | y_E)$ z.B HP $(2|3)$

Mit drei Beispielen wollen wir diese drei Fälle kurz verdeutlichen:

Beispiel

1. Beispiel: $f(x)=-3x^2+12x$

  1. $f'(x)=-6x+12$ und $f''(x)=-6$
  2. $0=-6x+12$  Gleichung auflösen: $x_E =2$
  3. $f''(x_E)=f''(2)=-6<0$, also ist der Extrempunkt ein HP
  4. $f(x_E)=f(2)=-3 \cdot 2^2 +12 \cdot 2=12$
  5. HP $(2|12)$

Beispiel

2. Beispiel: $f(x)=2x^3+6x^2-5$

  1. $f'(x)=6x^2+12x$ und $f''(x)=18x+4$
  2. $0=6x^2+12x$
    Gleichung auflösen: $x_{E1}=0, x_{E2}=-2$
  3. $f''(0)=4 >0$ ->TP
    $f''(-2)=18 \cdot -2+4=-32 >0$ -> HP
  4. $f(0)=-5$
    $f(-2)=2 \cdot (-2)^3+6 \cdot (-2)^2-5=3$
  5. TP $(0|-5)$
    HP $(-2|3)$

Beispiel

3. Beispiel: $f(x)=0,5x^3+1$

  1. $f'(x)=1,5x^2$ und $f''(x)=3x$
  2. $0=1,5x^2$
    Gleichung auflösen: $x_E=0$
  3. $f''(0)=0$ -> kein TP oder HP, sondern SP
  4. $f(0)=1$
  5. keine Extrempunkt vorhanden, aber ein Sattelpunkt bei SP $(0|1)$

Damit haben wir alle möglichen Fälle betrachtet.

Multiple-Choice
Wie lauten die Extrempunkte von f(x)=3x³-16x?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Kommentare zum Thema: Berechnung der Extrempunkte

  • Andreas Erb schrieb am 19.02.2015 um 20:26 Uhr
    Okay, da wäre ich auch fast darauf reingefallen: Nach dem zweiten Schritt (:9) steht da x² = 16/9 (und NICHT 4/3, kürzen geht hier nicht!) Erst nach dem Ziehen der Wurzel ergibt sich x = 4/3 bzw. x = -4/3 Ich hoffe das ist nachvollziehbar
  • Harun Soylik schrieb am 19.02.2015 um 18:44 Uhr
    Meine Frage bezieht sich auf die Aufgabe. 9x^2 - 16 = 0 | +16 9x^2 = 16 | :9 x^2 = 4/3 x = Wurzel aus 4/3
  • Andreas Erb schrieb am 19.02.2015 um 16:28 Uhr
    Bist du bei dem Beispiel oder bei einer Aufgabe? Wie lautet dein x-Wert genau, wie hast du ihn berechnet?
  • Harun Soylik schrieb am 19.02.2015 um 14:00 Uhr
    Hallo Abiweb ^^ Ich brauch eure HIlfe. Mein X-Wert ist wie euer X-Wert, allerdings die Wurzel davon. Somit entstand auch ein falsches Ergebnis bei mir.
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Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Berechnung der Extrempunkte ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Grundlagen der Analysis (Analysis 1).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Grundlagen der Analysis (Analysis 1)Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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  • Verständnis der Ableitung
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    Ein Kursnutzer am 03.11.2014:
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