Extrempunkte der e-Schar
Extrempunkte
Um die Extrempunkte der Funktionenschar $f_t(x)=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx}), t\neq 0$ zu berechnen gehen wir auch nach dem folgenden Muster vor:
Methode
- die erste und die zweite Ableitung berechnen (f´(x) und f´´(x))
- die erste Ableitung = Null setzen mit f´(x)=0 die Extremstelle xE berechnen (Gleichung nach x auflösen), d.h. den x-Wert des Extrempunktes berechnen
- mit f´´(xE) überprüfen, ob der Extrempunkt ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist.
Dazu wird die Extremstelle in die zweite Ableitung eingesetzt.
Ist f´´(xE) < 0 ist der Extrempunkt ein Hochpunkt (HP).
Ist f´´(xE) > 0 ist der Extrempunkt ein Tiefpunkt (TP).
ist f´´(xE)=0 ist es kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt. - mit f(xE)=yE den y-Wert des Extrempunktes berechnen.
- Extrempunkt aufschreiben (xE/yE) z.B HP (2/3)
Beispiel
Um die Extrempunkte zu berechnen, müssen Sie folgende Schritte ausführen:
- $f_t(x)=4\cdot(e^{tx}+e^{-tx})$ mit Kettenregel ableiten
$f´_t(x)=4\cdot(t\cdot e^{tx}+-t\cdot e^{-tx})=4t\cdot(e^{tx}-e^{-tx})$
f´(x) mit Kettenregel und Produktregel ableiten
$f´´_t(x)=4\cdot(e^{tx}-e^{-tx})+4t\cdot(t\cdot e^{tx}--t\cdot e^{-tx})$
$f´´_t(x)=4\cdot(e^{tx}-e^{-tx})+4t^2\cdot(e^{tx}+e^{-tx})$ - $f´_t=4t\cdot(e^{tx}-e^{-tx})=0$
$x_E=0$ und
$e^{tx}-e^{-tx}=0$ -> $e^{tx}=e^{-tx}$ -> $tx=-tx$ -> keine Lösung
Es gibt eine Nullstelle bei $x_E=0$ - $f´´_t(0)=4\cdot(e^{t\cdot 0}-e^{-t \cdot 0})+4t^2\cdot(e^{t\cdot 0}+e^{-t \cdot 0})=4 \cdot(1-1)+4t^2(1+1)=8t^2$
f´´(xE) < 0, da 8t² immer positiv ist -> der Extrempunkt ist ein Tiefpunkt (TP). - $f(0)=y_E=4\cdot(e^{t\cdot 0}+e^{-t \cdot 0})=8$ y-Wert des Extrempunktes
- Tiefpunkt (0/ 8)
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