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Warum bildet man Ableitungen? - Der Sachzusammenhang

Video: Warum bildet man Ableitungen? - Der Sachzusammenhang

In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit den Ableitungen von Funktionen. Dazu beantworten wir zunächst die Frage, was genau die Bedeutung einer solchen Ableitung ist. Wie die verschiedenen Ableitungen einer Funktion in der Mathematik aussehen können, haben wir dir hier einmal dargestellt.

Merke

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  1. $ f(x) = 2x^4+3x^3-4x^2+7x+3$
  2. $ f´(x) = 8x^3+9x^2-8x+7$
  3. $ f´´(x) = 24x^2+18x-8$
  4. $ f´´´(x) = 48x+18$

Welche Bedeutung haben Ableitungen?

Bei der Kurvendiskussion und in vielen anderen Aufgaben wird nach der ersten, zweiten und manchmal auch nach der dritten Ableitung gefragt. Doch welche Bedeutung haben diese Ableitungen überhaupt?

Hinweis

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Ein bekanntes Beispiel ist die Funktion, die den Weg in Abhängigkeit zur Zeit abbildet. Deren Ableitung, also die Steigung der Funktion, ist die Geschwindigkeit in Abhängigkeit zur Zeit. Wird die Funktion der Geschwindigkeit dann wieder abgeleitet, erhalten wir die Funktion, die die Beschleunigung in Abhängigkeit zur Zeit abbildet.

Funktion $~\rightarrow~$ 1.Ableitung $~\rightarrow~$ 2.Ableitung

Weg $~\rightarrow~$ Geschwindigkeit $~\rightarrow~$ Beschleunigung (in Abhängigkeit zur Zeit)

Schauen wir uns zunächst die Bedeutung der ersten Ableitung genauer an:

Welche Bedeutung hat die erste Ableitung?

Die Ableitung einer Funktion bildet die Steigung der Funktion in einer weiteren Funktion ab. Um dies zu verdeutlichen, schauen wir uns zwei Beispiele an. Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel: Die lineare Funktion $f(x) = 3x+5$ hat in jedem Punkt die Steigung $3$. Damit ist die Ableitung der Funktion $f'(x) = 3$. Die Steigung ist in jedem Punkt gleich.

Bei quadratischen Funktionen wird es schon etwas schwieriger, da hier die Steigung in jedem Punkt unterschiedlich ist. Die Normalparabel hat die Funktion $g(x) = x^2$. Die zugehörige Ableitung lautet: $g'(x) = 2x$. Betrachten wir dies in einer Abbildung:

$g(x) = x^2$ und deren Abbleitung $g'(x) = 2x$" alt="ableitung" src="/assets/courses/media/ableitung-ca.png">
Abbildung: Funktion $g(x) = x^2$ und deren Ableitung $g'(x) = 2x$

Wir sehen die Funktion in grün und deren Ableitung in rot. Also beschreibt die rote Funktion die Steigung der grünen Funktion in jedem Punkt. Nehmen wir den Punkt $P(0/0)$. Die Funktion hat hier einen Tiefpunkt. Die Steigung ist an dieser Stelle gleich null. Vergleichen wir dies mit der Ableitungsfunktion, dann erkennen wir, dass die rote Funktion an der Stelle $x=0$ den y-Wer $0$ hat. Also kann man durch Ablesen der Punkte der Ableitung die Steigung im zugehörigen Punkt bestimmen. Die y-Werte der Ableitungsfunktion entsprechen der Steigung der Ausgangsfunktion in den dazugehörigen x-Werten.

Betrachten wir einen weiteren Punkt: $P(1/1)$. Welche Steigung hat die Normalparabel in diesem Punkt? 

Diese Steigung können wir am roten Ableitungsgraphen ablesen. Er hat den Punkt $P(1/\textcolor{green}{2})$

$\rightarrow m=\textcolor{green}{2}$. Die Steigung ist gleich $2$.

Da die Ableitung Informationen über die Steigung liefert, können damit folgende Dinge bestimmt werden:

  • Ist $f'(x_1)\textcolor{red}{=}0$ dann ist $f(x)$ an der Stelle $x_1$ waagerecht.
  • Ist $f'(x_2)\textcolor{blue}{>}0$ dann ist $f(x)$ an der Stelle $x_2$ steigend.
  • Ist $f'(x_3)\textcolor{orange}{<}0$ dann ist $f(x)$ an der Stelle $x_3$ fallend.

Ableitungen bestimmen - Wie berechnet man Hochpunkt, Tiefpunkt und Sattelpunkt?

An der Stelle, wo der Graph waagerecht ($f'(x) = 0$) verläuft, liegt entweder ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt. Um diesen Punkt zu bestimmen, geht man wie folgt vor:

Methode

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Vorgehensweise Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt bestimmen:

  1. Die erste und zweite Ableitung der Funktion bestimmen.
  2. Die erste Ableitung gleich null setzten und die Lösungen für $x$ bestimmen.
  3. Die zuvor errechneten Werte in die dritte Ableitung einsetzten, für das jeweilige Ergebnis gilt:
  • $f''(x) < 0 \rightarrow$ Hochpunkt
  • $f''(x) > 0 \rightarrow$ Tiefpunkt
  • $f''(x) = 0 \rightarrow$ Sattelpunkt

Sechs Ableitungsregeln der Mathematik

Hier erhältst du eine Übersicht über die gängigen Ableitungsregeln. Möchtest du darüber mehr erfahren, klicke hier: Ableitungsregeln

Hinweis

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  1. Potenzregel: $f(x)= x^n~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \rightarrow~~ f'(x)= n \cdot x ^{n-1}$
  2. Faktorregel: $f(x)= k \cdot g(x) ~~~~~~~~~~~~~~\rightarrow~~ f'(x)= k \cdot g'(x)$
  3. Summenregel: $f(x)=g(x)+k(x) ~~~\rightarrow ~~f'(x)= g'(x)+k'(x)$
  4. Produktregel: $f(x) = g(x) \cdot v(x)~~~~~~~ \rightarrow~~ f'(x) = g'(x) \cdot v(x) + g(x) \cdot v'(x)$
  5. Kettenregel: $f(x)= u(b(x)) ~~~~~~~~~~~~~~\rightarrow~~ f'(x)= u'(b(x)) \cdot b'(x)$
  6. Quotientenregel: $f(x)= \frac{u(x)}{v(x)}~~~~~~~~~~~~ \rightarrow~~ f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$

Welche Bedeutung hat die zweite Ableitung?

Die zweite Ableitung bildet die Steigung der ersten Ableitung ab. Wir bestimmen sie, indem wir die Funktion der ersten Ableitung ableiten. Für die beiden oberen Beispiele bedeutet dies:
lineare Funktion: $f'(x) = 3, f''(x) = 0$
quadratische Funktion $f'(x) = 2x, f''(x) = 2$

Mit den Übungsaufgaben kannst du dein Wissen über die Bedeutung von Ableitungen im Sachzusammenhang weiter vertiefen. Viel Erfolg dabei!

Video: Fabian Serwitzki

Text: Chantal Rölle

Paarbildung
Was ist die erste und was die zweite Ableitung der Funktion $f(x) = 3x^4+x^2$
$f'(x)=$$36x^2+2$
$f''(x)=$$12x^3+2x$
0/0
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Hinweis:

Bitte verbinden Sie die richtigen Elemente zu Paaren und klicken Sie anschließend auf Lösen