Ableitung der e-Funktion
Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
Um einfache e-Funktionen z.B. f(x) = 3$\cdot e^{2x²}$ abzuleiten benötigtst du die Kettenregel, die besagt "Ableitung der inneren Funktion mal Ableitung der äußeren Funktion". Der Exponent z ist dann die innere Funktion, $e^z$ die äußere Funktion.
Da die Ableitung von $e^z$ ist $e^z$ muss nur der Exponent abgeleitet und davor geschrieben werden.
Beispiel
f(x) = $\ 3 \cdot e^{2x²}$
f´(x) = $\ 3 \cdot \text {Ableitung der inneren Funktion} \cdot \text {Ableitung der äußeren Funktion} $
f´(x) = $\ 3\cdot 4x \cdot e^{2x²}$
Beispiel
Etwas komplizierter sind die Ableitungen wenn die e-Funktion aus einen Produkt besteht, dann muss zusätzlich die Produktregel angewendet werden. f´(x) = $u´\cdot v + u\cdot v´$
f(x) = 4x² $\cdot e^{-5x}$
u = 4x² v= $e^{-5x}$
u´= 8x v´= -5$\cdot e^{-5x}$
f´(x) = 8x $\cdot e^{-5x} + 4x² \cdot -5 \cdot e^{-5x}$
f´(x) = 8x $\cdot e^{-5x} -20x² \cdot e^{-5x}$
Jetzt solltetst du $e^{-5x}$ noch ausklammern können, damit das Bestimmen der Nullstellen nachher einfacher wird.
f´(x) = $e^{-5x} \cdot (8x -20x²)$
In dem nachfolgenden Video wird anhand einer Abituraufgabe das Ableiten einer e-Funktion erklärt.
Video: Ableitung der e-Funktion
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