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Ableitung der e-Funktion

Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen
Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen

Um einfache e-Funktionen z.B. f(x) = 3$\cdot e^{2x²}$ abzuleiten benötigtst du die Kettenregel, die besagt "Ableitung der inneren Funktion mal Ableitung der äußeren Funktion". Der Exponent z ist dann die innere Funktion, $e^z$ die äußere Funktion.

Da die Ableitung von $e^z$ ist $e^z$ muss nur der Exponent abgeleitet und davor geschrieben werden.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

f(x) = $\ 3 \cdot e^{2x²}$

f´(x) = $\ 3 \cdot \text {Ableitung der inneren Funktion} \cdot \text {Ableitung der äußeren Funktion} $

f´(x) = $\ 3\cdot 4x \cdot e^{2x²}$

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Etwas komplizierter sind die Ableitungen wenn die e-Funktion aus einen Produkt besteht, dann muss zusätzlich die Produktregel angewendet werden. f´(x) = $u´\cdot v + u\cdot v´$

f(x) = 4x² $\cdot e^{-5x}$

u = 4x²                v= $e^{-5x}$

u´= 8x                  v´= -5$\cdot e^{-5x}$

f´(x) = 8x $\cdot e^{-5x} + 4x²  \cdot -5 \cdot e^{-5x}$

f´(x) = 8x $\cdot e^{-5x} -20x²  \cdot e^{-5x}$

Jetzt solltetst du $e^{-5x}$ noch ausklammern können, damit das Bestimmen der Nullstellen nachher einfacher wird.

f´(x) = $e^{-5x} \cdot (8x -20x²)$

In dem nachfolgenden Video wird anhand einer Abituraufgabe das Ableiten einer e-Funktion erklärt.

Video: Ableitung der e-Funktion

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Einleitung Analysis I
    • Einleitung zu Einleitung Analysis I
  • Verständnis der Ableitung
    • Einleitung zu Verständnis der Ableitung
    • Was ist die Ableitung?
    • Die graphische Ableitung
      • Einleitung zu Die graphische Ableitung
      • Punkte mit waagerechter Tangente
        • Einleitung zu Punkte mit waagerechter Tangente
        • Extrempunkte graphisch
        • Sattelpunkte
      • Wendepunkte graphisch
        • Einleitung zu Wendepunkte graphisch
        • Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
        • Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
      • Vergleich der Wendepunkte
      • Graphen ableiten
  • Ableiten
    • Einleitung zu Ableiten
    • Ableitungsregeln
      • Einleitung zu Ableitungsregeln
      • Potenzregel
      • Faktorregel
      • Summenregel
      • Produktregel
      • Quotientenregel
      • Kettenregel
      • Komplexe Funktionen ableiten
      • Sinus, Cosinus, e-Funktion und Logarithmus ableiten
    • Kurvenscharen ableiten
    • Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
  • Grundaufgaben der Analysis
    • Einleitung zu Grundaufgaben der Analysis
    • y-Wert berechnen
    • x-Wert berechnen
    • Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
    • Punkt zu einer gegebenen Steigung berechnen
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
    • Schnittpunkte mit den Achsen
      • Einleitung zu Schnittpunkte mit den Achsen
      • y-Achsenabschnitt
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      • Klassifizierung der Nullstellen
    • Extrempunkte
      • Einleitung zu Extrempunkte
      • Bedingungen für Extrempunkte
      • Berechnung der Extrempunkte
    • Wendepunkte
      • Einleitung zu Wendepunkte
      • Bedingungen für Wendepunkte
      • Berechnung von Wendepunkten
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
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    • Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    • Funktionsuntersuchung im Abitur
  • Einführung in die Integralrechnung
    • Einleitung zu Einführung in die Integralrechnung
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    • Die Stammfunktion und das unbestimmte Integral
    • Integrationsregeln
      • Einleitung zu Integrationsregeln
      • Potenzregel der Integration
      • lineare Substitution
    • Der Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechung
    • Das bestimmte Integral
  • Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • Einleitung zu Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • graphisches Integrieren
    • Flächenberechnung
      • Einleitung zu Flächenberechnung
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      • Fläche zwischen zwei Graphen
    • Die Integralrechung im Abitur
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    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen
    • Besonderheiten von Kurvenscharen
      • Einleitung zu Besonderheiten von Kurvenscharen
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