Drei Asymptoten-Arten - Eigenschaften einfach erklärt

Was sind Asymptoten? - Definition

Laut Definition sind Asymptoten Funktionen, denen sich der Graph einer anderen Funktion annähert. Dabei behandeln wir hier Asymptoten, die Geraden sind, also lineare Funktionen. Der Graph einer Funktion kommt der Asymptote immer näher, schneidet oder berührt die Asymptote aber nie. Die Abbildung verdeutlicht dies:

Abbildung: Funktion $\textcolor{blue}{f(x) =\frac{1}{x}+x}$ und deren Asymptote $\textcolor{green}{a(x)=x}$

Wir sehen, dass sich die Funktion für immer größer werdende x-Werte der Asymptote annähert.

Asymptoten können allgemein für jeden Grenzwert gesucht werden. Bei rationalen Funktionen sind die Grenzwerte $ \infty$ und $-\infty$. Bei gebrochenrationalen Funktionen kommen noch weitere Grenzwerte hinzu: Die Polstelle bzw. die Definitionslücke müssen auch betrachtet werden.

Wir werden im Folgenden die jeweilige Asymptotenart erklären und Beispiele geben.

Welche Eigenschaften hat eine senkrechte Asymptote?

Eine senkrechte, oder auch vertikale Asymptote genannt, liegt senkrecht im Koordinatensystem. Sie verläuft von oben nach unten. Das bedeutet, dass die Funktionswerte immer größer oder kleiner werden.

Bei der Definitionslücke einer gebrochenrationalen Funktion liegt immer eine senkrechte Asymptote vor:

Beispiel

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Bei der Funktion, die wir im oberen Beispiel betrachtet haben, kann eine weitere Asymptote an den Graph der Funktion gelegt werden. Diese ist senkrecht und befindet sich an der Definitionslücke, an welcher die Funktion nicht definiert ist.

$f(x) =\frac{1}{x}+x$

Die Funktion ist für $x=0$ nicht definiert, da man, wie du sicher weißt, nicht durch $0$ teilen darf.

Schauen wir uns den Grenzwert für x-Werte an, die nah an $0$ kommen:

$\lim_{n \to 0}\frac{1}{x}+x=\infty$

Je näher der x-Wert an $0$ kommt, desto größer wird der dazugehörige y-Wert.

So sieht die eingezeichnete Asymptote $x=0$ dann aus:

Abbildung: senkrechte Asymptote

Welche Eigenschaften hat eine waagerechte Asymptote?

Eine waagerechte Asymptote liegt waagerecht im Koordinatensystem. Sie verläuft von links nach rechts. Die Funktion kann für immer größere oder kleinere x-Werte gegen $0$ oder gegen jede andere beliebige Zahl laufen. Es werden die Grenzwerte der Funktion betrachtet.

Gilt $\lim_{n \to \pm \infty}f(x)= a$ für $x$ gegen $+\infty$ oder $-\infty$, nähert sich die Funktion der Konstante $a$. Die Konstante ist dann die Asymptote der Funktion.

Beispiel

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$f(x) = \frac{2x+10}{x-5}$

Bilden wir den Grenzwert der Funktion:

$\lim_{n \to \infty}\frac{2x+10}{x-5}=2$

Die Funktion hat eine Asymptote, die die Gleichung $a(x) =2$ hat.

Abbildung: waagerecht Asymptote

Welche Eigenschaften hat eine schiefe Asymptote?

Eine schiefe Asymptote liegt schief  im Koordinatensystem. Das bedeutet, dass sie die Gleichung einer linearen Funktion mit einer definierten Steigung, die nicht gleich $0$ ist, besitzt.

Beispiel

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Behandeln wir dazu nochmal die Funktion aus dem ersten Beispiel:

 

Abbildung: schiefe Asymptote

Die Steigung der Asymptotengerade ist $1$. Die Asymptote liegt schief im Koordinatensystem.

Mit den Übungsaufgaben zu Asymptoten kannst du dein Wissen vertiefen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!