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Asymptoten

Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen
Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen

Im Gegensatz zu den ganzrationalen Funktionen haben e-Funktionen meistens eine Asymptote.

Merke

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Eine Asymptote ist eine Funktion, oft eine Parallele zur x-Achse, gegen die die e-Funktion läuft, d.h. bei großen x schmiegt sich die e-Funktion immer weiter an die Asymptote an.

Asymptoten bei e-Funktionen
Asymptoten bei e-Funktionen

Bestimmung von Asymptoten

Asymptoten werden bestimmt, in dem man den Grenzwert der Funktion berechnet. Bei ganzrationalen Funktionen, gibt es nur die zwei Möglichkeiten +unendlich oder - unendlich.

Bei e-Funktionen kann der Grenzwert der einen Seite unendlich sein (wie bei der grünen Funktion, wo bei x gegen + unendlich der y-Wert gegen + unendlich läuft) und der Grenzwert der anderen Seite eine Zahl (wie bei der grünen Funktion, wo bei x gegen - unendlich der y-Wert gegen -1 läuft, d.h die Asymptote y=-1 ist).

Oder wie bei der blauen Funktion, können auch beide Grenzwerte ( für x gegen - unendlich und für x gegen + unendlich) eine Zahl sein (die Asymptote ist hier y=1).

Merke

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Das asymptotische Verhalten der e-Funktion ergibt sich aus der Tatsache, dass $e^{-\infty}$ =0 ist und die e-Funktion damit den Grenzwert 0 hat, bzw. die x-Achse mit y=0 die Asymptote ist.

Um den Grenzwert von Funktionen zu berechnet, wird für x entweder + unendlich oder - unendlich eingesetzt.

Beispiel

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f(x)=$x² \cdot e^{2x+1}$+2

$$\lim_{x\to +\infty} x² \cdot e^{2x+1}+2=\infty$$, da x² gegen unendlich und $e^{\infty}$ gegen unendlich geht und unendlich +2 unendlich ist.

$$\lim_{x\to -\infty} x² \cdot e^{2x+1}+2=2$$, da zwar x² gegen unendlich geht, aber $e^{-\infty}$ gegen 0 und 0+2 2 ist. Die Asymptote ist hier also y=2.

Die e-Funktion ist immer stärker als eine ganzrationale Funktion, so dass das Ergebnis 0 ergibt.

Ein weiteres Beispiel:

Beispiel

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f(x)=$x³ \cdot e^{-2x²+1}-4$

$\lim_{x\to +\infty} x³ \cdot e^{-2x²+1}-4=-4$,  x³ geht zwar gegen unendlich aber $e^{-\infty}$ gegen 0 und somit 0-4=-4 ist. Die Asymptote ist hier also y=-4.

$\lim_{x\to -\infty} x³ \cdot e^{-2x²+1}-4=-4$, x³ geht zwar gegen unendlich aber $e^{-\infty}$ gegen 0 und somit 0-4=-4 ist. Die Asymptote ist hier also y=-4.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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  • Einleitung Analysis I
    • Einleitung zu Einleitung Analysis I
  • Verständnis der Ableitung
    • Einleitung zu Verständnis der Ableitung
    • Was ist die Ableitung?
    • Die graphische Ableitung
      • Einleitung zu Die graphische Ableitung
      • Punkte mit waagerechter Tangente
        • Einleitung zu Punkte mit waagerechter Tangente
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        • Einleitung zu Wendepunkte graphisch
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        • Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
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      • Graphen ableiten
  • Ableiten
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    • Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
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