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Formeln der Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens

Geometrie
Sinus, Kosinus und Tangens

Video: Formeln der Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens

In diesem Text behandeln wir die Winkelfunktionen und zeigen sowie erklären dir die Formeln zu Sinus, Cosinus und Tangens. In der Mathematik werden die Winkelfunktionen der Trigonometrie zugeordnet. Somit gehören die Winkelfunktionen zur Geometrie.

Hier kannst du übersichtlich die drei Winkelfunktionen der Trigonometrie kennenlernen.

Formeln von Sinus, Kosinus, Tangens - Übersicht

Das sind die Formeln der 3 Winkelfunktionen in der Mathematik, die du am besten auswendig lernst.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen
  1. $sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
  2. $cos(\beta) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
  3. $tan(\gamma) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$

Wie heißen die Seiten, die den rechten Winkel einschließen? - Benennung der Katheten

Als Katheten bezeichnet man die beiden Seiten, die den rechten Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck einschließen. Die Seite, die gegenüber des rechten Winkels liegt, bezeichnet man als Hypotenuse.
Folgend ein Beispiel:

leicht erklärt text 1

Die Gegen- und Ankathete beziehen sich immer auf einen Winkel. In unserem Beispiel auf den Winkel $\beta$. Die Gegenkathete liegt gegenüber von $\beta$ und die Ankathete grenzt an $\beta$. Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel.

Je nachdem, welche zwei Größen gegeben sind und welche Größe gesucht ist, musst du entweder Sinus, Cosinus oder Tangens mit ensprechender Formel anwenden.

Textaufgaben zu Sinus, Kosinus und Tangens lösen - Vorgehensweise

Methode

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  1. Suche das Dreieck und bilde einen rechten Winkel, falls keiner gegeben ist.
  2. Was ist gesucht und was ist gegeben? Markiere dir dies in einer kleinen Skizze.
  3. Benenne dann die Katheten.
  4. Mit der Skizze kannst du nun überlegen, mit welcher Winkelfunktion du arbeiten kannst.
  5. Als letztes musst du die Werte in die Winkelfunktion einsetzen, gegebenenfalls die Formel umstellen und dein Ergebis dann ausrechnen.

Wichtig ist, dass der Winkel, der gegeben oder gesucht ist, kleiner als $90 ^\circ$ sein muss. Dies ergibt sich aus der Innenwinkelsumme eines Dreiecks. Alle Winkel zusammen, in jedem beliebigen Dreieck, ergeben zusammen $180 ^\circ$. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der rechte Winkel $90 ^\circ$ groß. Das bedeutet, die beiden anderen Winkel müssen zusammen $90 ^\circ$ betragen, das heißt, diese beiden Winkel sind jeweils kleiner als $90 ^\circ$.

Nun kennst du die Formeln der Winkelfunktionen in der Geometrie. Teste dein neu erlerntes Wissen jetzt mit unseren Übungsaufgaben!

Multiple-Choice

Mit welcher Winkelfunktion kannst du die Länge der Ankathete berechnen?
(b ist gesucht und c, a und $\beta$ sind gegeben)

 

kosinus tangens aufgabe 4
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Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Die Ankathete ist gesucht und sowohl die Gegenkathete als auch die Hypotenuse sind gegeben. 

$Sinus = \frac{Gegenkathete}{Hypothenuse}$

$Kosinus = \frac{Ankathete}{Hypothenuse}$

$Tangens=\frac{Gegenkathete}{Ankathte} $

Da wir die Ankathete berechenen müssen, können wir nur mit den Funktionen, in der die Ankathete vorkommt, rechnen.