Vektoren und Winkel
Um später Schnittwinkel zwischen Geraden und/oder Ebenen ausrechnen zu können, benutzt man wiederum die gegenseitige Lage zweier Vektoren zueinander.
Merke
Für den Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt:
$\cos{\alpha}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ mit $0 \le \alpha \le 180^\circ $.
Beispiel
Für die Größe des Winkels zwischen den Vektoren $\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 4\\0\\3 \end{pmatrix}$ gilt:
$\cos{\alpha} = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 3}{\sqrt{1^2+2^2+2^2} \cdot \sqrt{4^2+0^2+3^2}} = \frac{4+0+6}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{25}} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$
und damit ist $\alpha = \cos^{-1}{\frac{2}{3}} \approx 48,2^\circ $.
Genauer dargestellt wird das Thema auch noch einmal im nächsten Video:
Wenn wir uns daran erinnern, dass der Kosinus von 90° den Wert Null hat, wird auch der Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und rechtem Winkel klar:
Sonderfall "rechter Winkel"
Ein Bruch nimmt dann den Wert Null an, wenn der Zähler den Wert Null hat. Im Zähler unserer Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren steht eben das Skalarprodukt. Also beträgt der Winkel genau dann 90°, wenn der Wert des Skalarproduktes Null ist. Anmerkung: korrekterweise muss man auch fordern, dass der Nenner ungleich Null ist. Da jedoch im Nenner jeweils die Beträge der Vektoren stehen und Winkelangaben für Nullvektoren (ohne Länge und Richtung) recht sinnlos sind, ist diese Bedingung eigentlich immer gegeben.
Merke
Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind zueinander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt den Wert 0 annimmt.
Beispiel
Untersuchen Sie, ob die Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix} 1\\{-2}\\1 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}= \begin{pmatrix} 4\\3\\2 \end{pmatrix}$ orthogonal zueinander sind. Wir berechnen das Skalarprodukt $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 + {-2} \cdot 3 + 1 \cdot 2 = 4 – 6 + 2 = 0$. Damit ist gezeigt, dass die beiden Vektoren senkrecht zueinander stehen.
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