Wie berechnet man Winkel? - Formeln einfach erklärt

In diesem Lerntext erklären wir dir, mit welchen Tricks du Winkel berechnen kannst. Dazu werden wir in einem Dreieck Winkel berechnen und auch ein einem Viereck.

Winkelberechnung - Wie berechnet man die Innenwinkelsumme?

Die Innenwinkelsumme beschreibt, wie groß alle Winkel innerhalb einer geometrischen Figur zusammengerechnet sind.
So beträgt zum Beispiel die Innenwinkelsumme eines Dreiecks immer $180^\circ$ und die eines Vierecks $360^\circ$. Diese Erkenntnis kann uns helfen, wenn wir fehlende Winkel ausrechnen wollen.

Innenwinkelsumme Dreieck

Innenwinkelsumme Dreieck

Wir können alle Winkel in diesem Dreieck zusammenrechnen und erhalten: $73^\circ+77^\circ+30^\circ = 180^\circ$. Das war auch schon die "Formel" mit der du Winkel im Dreieck zusammenrechnest.

Innenwinkelsumme Viereck

Innenwinkelsumme Viereck

Wir können auch hier alle Winkel dieses Vierecks zusammenrechnen. $95^\circ+108^\circ+97^\circ+60^\circ = 360^\circ$. Wir sehen, dass alle Winkel zusammen $360^\circ$ ergeben. Dieses Ergebnis würden wir bei jedem beliebigen Viereck erhalten.

Winkel mit Hilfe der Innenwinkelsumme berechnen - Beispielaufgabe

Dreieck, Winkel alpha gefragt

Wir haben dieses Dreieck gegeben und sollen den fehlenden Winkel $\alpha$ berechnen. Wir wissen, dass alle Winkel zusammen $180^\circ$ groß sein müssen. Wenn wir nun die beiden angegebenen Winkel von $180^\circ$ abziehen, erhalten wir die Größe des gesuchten Winkels $\alpha$.

$180^\circ = \alpha +\beta +\gamma$
$180^\circ =\alpha+ 73^\circ+80^\circ$                   $|-73^\circ -80^\circ$
$\alpha = 180^\circ -73^\circ -80^\circ = 27^\circ $

Der Winkel $\alpha$ ist $27^\circ$ groß.

Winkelberechnung - Wie berechnet man Winkel mit Sinus, Kosinus und Tangens?

Die Größe eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck kann mit den Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens berechnet werden. Dabei sind nicht die anderen Winkelgrößen angegeben, sondern die Längen der Seiten des Dreiecks.
Um die Winkelfunktionen anwenden zu können, müssen wir zunächst die Seiten eines Dreiecks benennen können. Die Seiten eines Dreiecks werden auch Kathete genannt und jede Seite hat eine spezielle Bezeichnung:

Die Hypotenuse ist immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie liegt gegenüber von dem größten Winkel des rechtwinkligen Dreiecks, dem rechten Winkel. Die Gegen- und Ankathete beziehen sich beide auf einen der beiden spitzen Winkel. Hier ist dieser $\beta$. Die Gegenkathete ist gegenüber von dem gegebenen Winkel (hier $\beta$) und die Ankathete liegt direkt an dem Winkel dran (hier $\beta$).

Wenn nun zwei Seitenlängen gegeben sind können wir mit Sinus, Kosinus oder Tangens die dazugehörige Winkelgröße berechnen. Schauen wir uns hier die drei Formeln an:

Wie berechnet man Winkel mit Hilfe von Sinus, Kosinus und Tangens? - Vorgehensweise

Schauen wir uns eine Beispielaufgabe zur Berechnung eines Winkels im Dreieck an:

Du weißt jetzt, wie du Winkel mithilfe der Sinus-, Kosinus- und Tangesfunktionen berechnen kannst. Du hast auch gelernt, dass es eine Innenwinkelsumme von Dreiecken und Vierecken gibt. Dein neu erlerntes Wissen kannst du nun in unseren Übungsaufgaben zu Winkeln und Winkelsummen im Dreieck und Viereck überprüfen. Viel Erfolg dabei!