Termschema, Spektrallinien- Wasserstoffatom

Aufgrund des entwickelten Modells können wir eine Interpretation der Spektrallinien des Wasserstoffatoms geben.

Dazu trägt man die entsprechenden Energiewerte $E_n$ in ein sogenanntes Energieniveauschema/Termschema ein, wie es in der Abbildung gezeigt ist.

Energieschema des Wasserstoffatoms

Insbesondere erhält man nun die möglichen Strahlungsübergänge, wie sie nach dem 2. Bohrschen Postulat erlaubt sind. Die Übergänge sind durch entsprechende Pfeile gekennzeichnet.

Serienformel für Spektrallinien des Wasserstoffatoms

Geht das Wasserstoffatom vom angeregten Zustand mit der Hauptquantenzahl $n_2$ in einen Zustand mit der niedrigeren Hauptquantenzahl $n_1$ über, so wird dabei ein Photon der Energie $hf$ emittiert.

$hf=E_{n_2}-E_{n_1}$

Wir benutzen nun die zuvor hergeleitete Formel für die Energien $E_n$.

$hf=-\frac{m_ee^4}{8\epsilon_0^2h^2}\frac{1}{n_2^2}-(-\frac{m_ee^4}{8\epsilon_0^2h^2}\frac{1}{n_1^2})=\frac{m_ee^4}{8\epsilon_0^2h^2}(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2})$

Da es sich ja um elektromagnetische Strahlung handelt, gilt die Beziehung $c=\lambda\cdot f$ und man erhält

$h\frac{c}{\lambda}=\frac{m_ee^4}{8\epsilon_0^2h^2}(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2})$,

woraus dann eine Formel für die Wellenlänge $\lambda$ folgt

$\frac{1}{\lambda}=\frac{m_ee^4}{8\epsilon_0^2h^3c}(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2})$.

Der Faktor vor der Klammer besteht aus Naturkonstanten und ist somit selbst eine Konstante.

Setzt man nun in diese Serienformel für $n_1=1, 2, 3,...$, so gewinnt man die entsprechenden Wellenlängen von Spektrallinien einer Serie. Einige dieser Serien sind auch oben im Diagramm eingezeichnet. Drei Serien geben wir noch explizit an:

Wir haben also alle Serienformeln des Wasserstoffatoms gefunden; darunter auch die von Balmer empirisch gefundene Formel für die Balmer-Serie.

Ionisierung

Bei näherer Betrachtung des Termschemas stellt sich die Frage, ob man das Wasserstoffatom so stark anregen kann, dass es ionisiert wird.

Befindet sich das Atom im Grundzustand $n=1$, so entspricht dem Grenzübergang $n\rightarrow \infty$ die Ionisierung des Atoms. Denn dann wird das Elektron dem Anziehungsbereich des Kerns entzogen und es handelt sich um ein freies Elektron.

Berechnung der Ionisierungsenergie

Energie des Elektrons im Grundzustand $n=1$: $E_1=-13,6 eV$

(Mindest-)Energie des Elektrons im freien Zustand $n\rightarrow \infty$: $E_{\infty}=0 eV$

Die Ionisierungsenergie resultiert dann einfach als Differenz $\Delta E$

$\Delta E=E_{\infty}-E_1=13,6 eV$.