Energieerhaltung

Wir wollen nun die Energie im (idealen) Schwingkreis betrachten.

Darstellung der Spannung und des Stroms

Die Darstellung der Verläufe der Spannung $U$ und Stromstärke $I$ in Abhängigkeit von der Zeit erweist sich als kosinus-bzw. sinusförmig. Daher kann man folgende Formeln aufschreiben:

$U=U_{max}\cos{\omega t}$

$I=I_{max}\sin{\omega t}$

$U_{max}$ ist der Scheitelwert (Maximalwert) der Spannung, $I_{max}$ der Scheitelwert der Stromstärke.

Darstellung der Energien

Man erinnere sich nun daran, dass die elektrische Feldenergie $W_{el}$ des Kondensators

$W_{el}=\frac{1}{2}CU^2$

ist. Die magnetische Feldenergie $W_{mag}$ der Spule lautet

$W_{mag}=\frac{1}{2}LI^2$.

Die obigen Formeln für Spannung und Stromstärke setzen wir nun ein:

$W_{el}=\frac{1}{2}CU^2=\frac{1}{2}CU_{max}^2\cos^2{\omega t}$

$W_{mag}=\frac{1}{2}LI^2=\frac{1}{2}LI_{max}^2\sin^2{\omega t}$

Gesamtenergie

Die gesamte Energie $W$ im Schwingkreis ist nun die Summe aus $W_{el}$ und $W_{mag}$; $W=W_{el}+W_{mag}$. Also bekommen wir

$W=W_{el}+W_{mag}=\frac{1}{2}CU_{max}^2\cos^2{\omega t}+\frac{1}{2}LI_{max}^2\sin^2{\omega t}$

Wir wissen, dass sich die gesamte (maximale) Feldenergie des elektrischen Feldes $\frac{1}{2}CU_{max}^2$ während der elektromagnetischen Schwingung in die gesamte (maximale) Feldenergie des Magnetfelds $\frac{1}{2}LI_{max}^2$ umwandelt. Daher gilt:

$\frac{1}{2}CU_{max}^2=\frac{1}{2}LI_{max}^2$

Diese Aussage können wir in der Formel für die Gesamtenergie $W$ ausnutzen:

$\Rightarrow W=\frac{1}{2}CU_{max}^2(\cos^2{\omega t}+\sin^2{\omega t})=\frac{1}{2}CU_{max}^2=konstant$

Anwendungsbeispiel

Hinweis zum Umrechnen der Einheiten: $\frac{C^2}{J}=\frac{A^2s^2}{VAs}=\frac{As}{V}=F$