Energie - schwingendes System

Wir gehen bei der Betrachtung von der harmonischen Schwingung eines Federpendels aus. Schauen wir zunächst auf die auftretenden Energieformen beim Federpendel.

Energieformen beim Federpendel

Die kinetische Energie $W_{kin}$ eines mechanischen Systems lautet

$W_{kin}=\frac{1}{2}mv^2$,

wobei $m$ die Masse und $v$ die Geschwindigkeit darstellen.

Die potentielle Energie $W_{pot}$ eines Federpendels hängt wesentlich von der Auslenkung $y$ ab

$W_{pot}=\frac{1}{2}Dy^2$.

$D$ bezeichnet hier die Federkonstante.

Laut voriger Überlegungen gilt der Energieerhaltungssatz:

Wir wollen nun die Gesamtenergie $W$ auf eine elegante Weise bestimmen.

Gesamtenergie $W$

Aus der Mechanik sollte bekannt sein, dass die Geschwindigkeit eines Körpers die zeitliche Ableitung seines jeweiligen Ortes ist.

Nun wird ja der Ort eines Federpendels durch die Elongation $y(t)$ beschrieben

$y(t)=A\sin{(\omega t+\phi_0)}$,

woraus man dann die Geschwindigkeit $v$ durch das Ableiten berechnen kann

$v=\frac{dy}{dt}=A\omega\cos{(\omega t+\phi_0)}$.

Diesen Ausdruck setzen wir in die Formel für $W_{kin}$ ein und erhalten sofort

$W_{kin}=\frac{1}{2}mA^2\omega^2\cos^2{(\omega t+\phi_0)}$.

Unter dem Aspekt der Energieerhaltung kann man also wie folgt argumentieren:

Es gibt eine kontinuierliche Umwandlung zwischen kinetischer und potentieller Energie. Wird die potentielle Energie an einer Stelle Null (dies geschieht in der Ruhelage des Pendels), so ist die gesamte Energie $W$ des Systems gleich dem maximalen Wert der kinetischen Energie $W_{kin}$. Aus der oben aufgeführten Formel für $W_{kin}$ können wir den Maximalwert der kinetischen Energie bestimmen; dieser ist gerade der Vorfaktor

$\frac{1}{2}mA^2\omega^2$.

Der Zusammenhang zwischen Schwingungsenergie $W$ und Amplitude $A$ der Schwingung wird uns voraussichtlich noch später begegnen.