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Energie - schwingendes System

Wir gehen bei der Betrachtung von der harmonischen Schwingung eines Federpendels aus. Schauen wir zunächst auf die auftretenden Energieformen beim Federpendel.

Energieformen beim Federpendel

Die kinetische Energie $W_{kin}$ eines mechanischen Systems lautet

$W_{kin}=\frac{1}{2}mv^2$,

wobei $m$ die Masse und $v$ die Geschwindigkeit darstellen.

Die potentielle Energie $W_{pot}$ eines Federpendels hängt wesentlich von der Auslenkung $y$ ab

$W_{pot}=\frac{1}{2}Dy^2$.

$D$ bezeichnet hier die Federkonstante.

Laut voriger Überlegungen gilt der Energieerhaltungssatz:

Merke

Die Gesamtenergie $W$ des Systems ist die Summe der kinetischen Energie $W_{kin}$ und der potentiellen Energie $W_{pot}$ (Federenergie)

$W=W_{kin}+W_{pot}$

Die Gesamtenergie $W$ einer harmonischen (mechanischen) Schwingung ist (zeitlich) konstant und damit erhalten.

Wir wollen nun die Gesamtenergie $W$ auf eine elegante Weise bestimmen.

Gesamtenergie $W$

Aus der Mechanik sollte bekannt sein, dass die Geschwindigkeit eines Körpers die zeitliche Ableitung seines jeweiligen Ortes ist.

Nun wird ja der Ort eines Federpendels durch die Elongation $y(t)$ beschrieben

$y(t)=A\sin{(\omega t+\phi_0)}$,

woraus man dann die Geschwindigkeit $v$ durch das Ableiten berechnen kann

$v=\frac{dy}{dt}=A\omega\cos{(\omega t+\phi_0)}$.

Diesen Ausdruck setzen wir in die Formel für $W_{kin}$ ein und erhalten sofort

$W_{kin}=\frac{1}{2}mA^2\omega^2\cos^2{(\omega t+\phi_0)}$.

Unter dem Aspekt der Energieerhaltung kann man also wie folgt argumentieren:

Es gibt eine kontinuierliche Umwandlung zwischen kinetischer und potentieller Energie. Wird die potentielle Energie an einer Stelle Null (dies geschieht in der Ruhelage des Pendels), so ist die gesamte Energie $W$ des Systems gleich dem maximalen Wert der kinetischen Energie $W_{kin}$. Aus der oben aufgeführten Formel für $W_{kin}$ können wir den Maximalwert der kinetischen Energie bestimmen; dieser ist gerade der Vorfaktor

$\frac{1}{2}mA^2\omega^2$.

Merke

Die Gesamtenergie bzw. Schwingungsenergie $W$ des schwingenden Systems ist

$W=\frac{1}{2}m\omega^2A^2$.

Der Zusammenhang zwischen Schwingungsenergie $W$ und Amplitude $A$ der Schwingung wird uns voraussichtlich noch später begegnen.

Multiple-Choice
Welcher Zusammenhang besteht zwischen Schwingungsenergie bzw. Gesamtenergie $W$ (z.B. eines Federpendels) und der Amplitude $A$ der Schwingung?
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Vorstellung des Online-Kurses ElektromagnetismusElektromagnetismus
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      • Einleitung zu Induktion- Magnetischer Fluss
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