Vektorfeld

Gravitationsfeld der Erde

Um dem Gravitationsfeld als ein Musterbeispiel für ein Vektorfeld nun näher zu kommen, nehmen wir an, dass einer der beiden Körper im obigen Gravitationsgesetz die Erde repräsentiert.

Theoretisch kann man nun einen Probekörper außerhalb des Erdkörpers platzieren und die auf ihn wirkende Anziehungskraft messen. Obwohl man für solch eine Vorgehensweise eine ausgeklügelte Messapparatur benötigt, lässt sich doch klar verdeutlichen, wie man nun ein Kraftfeld und damit Vektorfeld erhält:

Jedem Punkt des Raumes, an den man den Probekörper bringt, lässt sich ein Kraftvektor zuordnen. Durch die Messung würde man sowohl eine Richtung als auch einen Betrag der Gravitationskraft ermitteln. Der Betrag müsste mit dem obigen Gravitationsgesetz übereinstimmen.

Auch wenn wir die Wirkung der Gravitationskraft mit Hilfe eines Probekörpers festgestellt haben, ist das Gravitationsfeld der Erde auch ohne Probekörper existent. Dieses Gravitationsfeld hängt einzig und allein vom felderzeugenden Körper, der Erde, ab. Daher ist es sinnvoll, eine Größe für das Gravitationsfeld eines Objekts (in diesem Fall Erde) zu finden, die unabhängig vom Probekörper ist.

Versuchen wir nun eine solche Größe zu finden. Sei dazu $\vec{F}_G$ die auf einen Probekörper der Masse $m$ wirkende Gravitationskraft in einem Raumpunkt. Nach dem Gravitationsgesetz ist $\vec{F}_G$ von der Masse des Probekörpers abhängig und daher als gesuchte Größe ungeeignet. Ein Blick auf das Newtonsche Gravitationsgesetz verrät jedoch, dass

$\vec{g}:=\frac{\vec{F}_G}{m}$

eine von der Masse des Probekörpers unabhängige Größe ist. $\vec{g}$ wird als Gravitationsfeld(stärke) bezeichnet und dient hier als Beispiel eines Vektorfeldes.

Die Gravitationsphysik zeigt weiter, dass die Gravitationskraft eine zur felderzeugenden Masse (z.B. Erde) radial nach innen zeigende Kraft ist, weil die Gravitationskraft zwischen Massen anziehend ist. Sei $\vec{r}$ ein Raumvektor außerhalb der Erde und $r$ sein Betrag, dann kann man durch

$\vec{e}_r:=\frac{\vec{r}}{r}$

einen radialen Einheitsvektor definieren. Mit Hilfe des Newtonschen Gravitationsgesetzes würde dann das Gravitationsfeld der Erde folgende Form haben

$\vec{g}=-G\frac{M_E}{r^2}\vec{e}_r$.

$M_E$ bezeichnet dabei die Masse der Erde und das Minuszeichen deutet an, dass das Gravitationsfeld aufgrund der anziehenden Kraft in Richtung der Erde zeigt.