Relativistische Energie

Wir wissen aus der klassischen Mechanik, dass die Formel für die kinetische Energie eines Körpers der Masse $m$, der sich mit der Geschwindigkeit $v$ bewegt, $E_{kin}=\frac{1}{2}mv^2$ lautet. Dieser Zusammenhang muss aber in der Relativitätstheorie einer Revision unterzogen werden. Ausgehend von den relativistischen Formeln für Masse und Impuls wollen wir uns dieser Aufgabe nun widmen.

Ausgangspunkt sei ein Körper, der zu Beginn seiner Bewegung die Geschwindigkeit Null hat und sich entlang der $x$-Achse bewegt. Auf den Körper wirke in $x$-Richtung eine Kraft $F$. Diese Kraft ist nach dem 2. Newtonschen Axiom als zeitliche Ableitung des Impulses zu verstehen

$F=\frac{dp}{dt}$.

Für den Impuls $p$ ist hier natürlich die relativistische Formel einzusetzen.

Im Kapitel Ladungen und Felder, Abschnitt Energie im elektrischen Feld hatten wir eine allgemeine Integralformel für die Arbeit und Energie kennengelernt. Demnach kann die kinetische Energie $E_{kin}$, die ein Körper entlang eines Weges der Länge $s$ auf der $x$-Achse erhält, wie folgt berechnet werden

$E_{kin}=\int_0^s F\,dx$.

Setzen wir nun die obige Formel für die Kraft in dieses Integral ein, so bekommen wir den Ausdruck

$E_{kin}=\int_{0}^{s} \frac{dp}{dt}\,dx$.

Die im Ausdruck auftretenden Differentiale können mittels Differentialrechnung weiter umgeformt werden

$\int \frac{dp}{dt}\,dx=\int \frac{dx}{dt}\,dp=\int v\,dp$.

Dabei wurde im ersten Schritt die Reihenfolge von $dp$ und $dx$ vertauscht und im zweiten Schritt die Formel $\frac{dx}{dt}=v$ für die Geschwindigkeit $v$ verwendet.

Man beachte nun, dass der Impuls $p$ als Funktion $p(v)$ der Geschwindigkeit $v$ anzusehen ist. Bedient man sich dann noch der in der Differentialrechnung gültigen Regel

$dp=\frac{dp}{dv}dv$,

dann ist

$\int v\,dp=\int v\frac{dp}{dv}\,dv$.

Damit können wir die kinetische Energie $E_{kin}$ auch so darstellen:

$E_{kin}=\int_{0}^{u}v\frac{dp}{dv}\,dv$

Die Integration ist hier über die Geschwindigkeitsvariable auszuführen, wobei $u$ die Endgeschwindigkeit des Körpers nach dem Durchlaufen der Streckenlänge $s$ ist.

Wir wissen, dass $\frac{dp}{dv}$ die Ableitung des Impulses nach der Geschwindigkeit ist. Gleichzeitig ist aus vorhergehenden Erkenntnissen des Kapitels bekannt, dass $p(v)=m(v)v$ gilt. Um die entsprechende Ableitung zu ermitteln, müssen wir die Produktregel der Analysis anwenden

$\frac{dp}{dv}=\frac{dm(v)}{dv}v+m(v)\underbrace{\frac{dv}{dv}}_{1}=\frac{dm(v)}{dv}v+m(v)$

Die Massenformel lautet zur Erinnerung

$m(v)=\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}=m_{0}(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{1}{2}}$, woraus die Ableitung bestimmt werden kann.

$\Rightarrow \frac{dm(v)}{dv}=m_{0}(-\frac{1}{2})(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{3}{2}}(-\frac{2v}{c^2})=m_{0}\frac{v}{c^2}(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{3}{2}}$

Die Ableitung samt Massenformel setzen wir in das Resultat der Produktregel ein und erhalten

$\frac{dp}{dv}=m_{0}(\frac{v}{c})^2(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{3}{2}}+m_{0}(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{1}{2}}=m_{0}(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{3}{2}}$.

Dieses Resultat fügen wir in die Integralformel der kinetischen Energie $E_{kin}$ ein.

$E_{kin}=\int_{0}^{u}v\frac{dp}{dv}\,dv=m_{0}\int_{0}^{u}v(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{3}{2}}\,dv$

Fassen wir dieses Resultat als Merksatz zusammen: