abiweb
online lernen

Die perfekte Abiturvorbereitung
in Physik

Im Kurspaket Physik erwarten Dich:
  • 42 Lernvideos
  • 183 Lerntexte
  • 195 interaktive Übungen
  • original Abituraufgaben
gratis testen

Relativistische Energie

Relativistische Dynamik
Relativistische Messgrößen

Wir wissen aus der klassischen Mechanik, dass die Formel für die kinetische Energie eines Körpers der Masse $m$, der sich mit der Geschwindigkeit $v$ bewegt, $E_{kin}=\frac{1}{2}mv^2$ lautet. Dieser Zusammenhang muss aber in der Relativitätstheorie einer Revision unterzogen werden. Ausgehend von den relativistischen Formeln für Masse und Impuls wollen wir uns dieser Aufgabe nun widmen.

Ausgangspunkt sei ein Körper, der zu Beginn seiner Bewegung die Geschwindigkeit Null hat und sich entlang der $x$-Achse bewegt. Auf den Körper wirke in $x$-Richtung eine Kraft $F$. Diese Kraft ist nach dem 2. Newtonschen Axiom als zeitliche Ableitung des Impulses zu verstehen

$F=\frac{dp}{dt}$.

Für den Impuls $p$ ist hier natürlich die relativistische Formel einzusetzen.

Im Kapitel Ladungen und Felder, Abschnitt Energie im elektrischen Feld hatten wir eine allgemeine Integralformel für die Arbeit und Energie kennengelernt. Demnach kann die kinetische Energie $E_{kin}$, die ein Körper entlang eines Weges der Länge $s$ auf der $x$-Achse erhält, wie folgt berechnet werden

$E_{kin}=\int_0^s F\,dx$.

Setzen wir nun die obige Formel für die Kraft in dieses Integral ein, so bekommen wir den Ausdruck

$E_{kin}=\int_{0}^{s} \frac{dp}{dt}\,dx$.

Die im Ausdruck auftretenden Differentiale können mittels Differentialrechnung weiter umgeformt werden

$\int \frac{dp}{dt}\,dx=\int \frac{dx}{dt}\,dp=\int v\,dp$.

Dabei wurde im ersten Schritt die Reihenfolge von $dp$ und $dx$ vertauscht und im zweiten Schritt die Formel $\frac{dx}{dt}=v$ für die Geschwindigkeit $v$ verwendet.

Man beachte nun, dass der Impuls $p$ als Funktion $p(v)$ der Geschwindigkeit $v$ anzusehen ist. Bedient man sich dann noch der in der Differentialrechnung gültigen Regel

$dp=\frac{dp}{dv}dv$,

dann ist

$\int v\,dp=\int v\frac{dp}{dv}\,dv$.

Damit können wir die kinetische Energie $E_{kin}$ auch so darstellen:

$E_{kin}=\int_{0}^{u}v\frac{dp}{dv}\,dv$

Die Integration ist hier über die Geschwindigkeitsvariable auszuführen, wobei $u$ die Endgeschwindigkeit des Körpers nach dem Durchlaufen der Streckenlänge $s$ ist.

Wir wissen, dass $\frac{dp}{dv}$ die Ableitung des Impulses nach der Geschwindigkeit ist. Gleichzeitig ist aus vorhergehenden Erkenntnissen des Kapitels bekannt, dass $p(v)=m(v)v$ gilt. Um die entsprechende Ableitung zu ermitteln, müssen wir die Produktregel der Analysis anwenden

$\frac{dp}{dv}=\frac{dm(v)}{dv}v+m(v)\underbrace{\frac{dv}{dv}}_{1}=\frac{dm(v)}{dv}v+m(v)$

Die Massenformel lautet zur Erinnerung

$m(v)=\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}=m_{0}(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{1}{2}}$, woraus die Ableitung bestimmt werden kann.

$\Rightarrow \frac{dm(v)}{dv}=m_{0}(-\frac{1}{2})(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{3}{2}}(-\frac{2v}{c^2})=m_{0}\frac{v}{c^2}(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{3}{2}}$

Die Ableitung samt Massenformel setzen wir in das Resultat der Produktregel ein und erhalten

$\frac{dp}{dv}=m_{0}(\frac{v}{c})^2(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{3}{2}}+m_{0}(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{1}{2}}=m_{0}(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{3}{2}}$.

Dieses Resultat fügen wir in die Integralformel der kinetischen Energie $E_{kin}$ ein.

$E_{kin}=\int_{0}^{u}v\frac{dp}{dv}\,dv=m_{0}\int_{0}^{u}v(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{3}{2}}\,dv$

Methode

Lösung des Integrals

Das Problem besteht jetzt in der Berechnung des Integrals

$\int_{0}^{u}v(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{3}{2}}\,dv$.

Definieren wir die Funktion $f(v)$ als

$f(v)=v(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{3}{2}}$.

Laut Differential- und Integralrechnung muss man zunächst die Stammfunktion $F(v)$ des (unbestimmten) Integrals

$\int f(v)\,dv$

finden. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besteht zwischen $f(v)$ und $F(v)$ folgender Zusammenhang

$F^{'}(v)=\frac{dF(v)}{dv}=f(v)$.

Wer genügend Übung mit der Integration von Wurzelfunktionen hat, wird sofort feststellen, dass

$F(v)=c^2(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{1}{2}}$

eine Stammfunktion bildet.

Beweis: Wir bilden die Ableitung $F^{'}(v)$, um die Aussage nachzuweisen.

$\Rightarrow F^{'}(v)=c^2(-\frac{1}{2})(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{3}{2}}(-\frac{2v}{c^2})=v(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{3}{2}}=f(v)$

Damit können wir $E_{kin}$ explizit angeben

$E_{kin}=m_{0}\int_{0}^{u}v(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{3}{2}}=m_{0}(F(u)-F(0))$

$\Rightarrow E_{kin}=m_{0}c^2(1-(\frac{u}{c})^2)^{-\frac{1}{2}}-m_{0}c^2$

Fassen wir dieses Resultat als Merksatz zusammen:

Merke

Die relativistische (kinetische) Energie

Die kinetische Energie eines Körpers der Ruhemasse $m_0$ bei der Geschwindigkeit $u$ ist durch

$E_{kin}=\frac{m_{0}c^2}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}}-m_{0}c^2$

gegeben.

Vorstellung des Online-Kurses RelativitätstheorieRelativitätstheorie
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Relativitätstheorie

abiweb - Abitur-Vorbereitung online (abiweb.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Wiederholung: Grundlagen der klassischen Kinematik
    • Einleitung zu Wiederholung: Grundlagen der klassischen Kinematik
    • Geschwindigkeit und das klassische Additionstheorem
      • Einleitung zu Geschwindigkeit und das klassische Additionstheorem
      • Anwendung: Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen
    • Beschleunigung, Masse, Kraft
  • Fundamente der speziellen Relativitätstheorie
    • Einleitung zu Fundamente der speziellen Relativitätstheorie
    • Gedankenexperiment zur Äthertheorie
    • Michelson-Experiment im Detail
      • Einleitung zu Michelson-Experiment im Detail
      • Michelson-Interferometer
        • Einleitung zu Michelson-Interferometer
        • Mathematische Analyse der Gangunterschiede
      • Versuchsergebnis und Deutung
      • Folgerungen aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
  • Relativistische Kinematik
    • Einleitung zu Relativistische Kinematik
    • Lorentz-Transformationen
    • Relativistische Geschwindigkeitsaddition
  • Relativistische Dynamik
    • Einleitung zu Relativistische Dynamik
    • Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse
      • Einleitung zu Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse
      • Relativistische Massenformel
    • Relativistische Messgrößen
      • Einleitung zu Relativistische Messgrößen
      • Relativistischer Impuls
      • Relativistische Energie
        • Einleitung zu Relativistische Energie
        • Äquivalenz von Masse und Energie
  • 21
  • 6
  • 17
  • 7

Unsere Nutzer sagen:

  • Miriam

    Miriam

    "Ich finde abiweb.de sehr hilfreich und die Themen sehr gut erklärt!! Vielen Dank!!"
  • Jens

    Jens

    "Endlich habe ich es verstanden :) Ich schreibe morgen meine Klausur und denke, dass ich es nun kann :)"
  • Michaela

    Michaela

    "Vielen Dank:) Wäre schön wenn sich meine Lehrerin so viel Zeit für alles nehmen könnte."

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 20% bei deiner Kursbuchung!

20% Coupon: abitur20

Zu den Online-Kursen