Anwendungen von Matrizen

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

Das Kapitel Anwendungen von Matrizen in unserem Online-Kurs Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla) besteht aus folgenden Inhalten:

1. Anwendungen von Matrizen

   Anwendungen von Matrizen

   

   Das Schöne an Matrizen ist, dass sie aufs Wesentliche reduziert sind. Man konzentriert sich nur auf die Einträge und ihre Positionen. Dementsprechend vielseitig sind dann auch die Einsatzmöglichkeiten von Matrizen.Beinahe alle Prozesse, bei der verschiedene Dinge jeweils miteinander in einer Beziehung stehen, lassen sich durch Matrizen abbilden. Und damit nicht genug: Durch die richtigen Rechenoperationen ist es auch möglich, die Auswirkung dieser Beziehungen zu modellieren. Wir ...

2. Verflechtungsmatrizen

   Anwendungen von Matrizen > Verflechtungsmatrizen

   

   Bei der Beschreibung von Produktionsprozessen haben sich Matrizen sehr bewährt. Hier geht es meistens darum, aus einer gegebenen Anzahl an Endprodukten herauszubekommen, wie viele Rohstoffe man für diese benötigt.Gesucht ist also der Input(-vektor), der aus dem Output(-vektor) und der zugehörigen Verflechtungsmatrix durch Multiplikation berechnet werden kann.Ist R der Inputvektor, P der Outputvektor und B die Verflechtungsmatrix, gilt $R = B \cdot P$.Die größte (und ...

3. Beschreibung Verflechtungsmatrix

   Anwendungen von Matrizen > Verflechtungsmatrizen > Beschreibung Verflechtungsmatrix

   

   Um die Abhängigkeiten der einzelnen Rohstoffe und Produkte übersichtlich darzustellen, kann man ein Verflechtungsdiagramm (einen sog. Gozintographen) zeichnen.GozintographAus dem gezeigten Diagramm kann man herauslesen, dass zur Herstellung eine Einheit des Produktes 1 (P1) eine Einheit des Rohstoffs R1, zwei Einheiten R2 und vier Einheiten R3 notwendig sind. Für P2 benötigen wir hingegen zwei Einheiten R1, drei Einheiten R2 und eine Einheit R3. In Tabellenform ausgedrückt:Produkt ...

4. Anwendungsbeispiel Verflechungsmatrix

   Anwendungen von Matrizen > Verflechtungsmatrizen > Anwendungsbeispiel Verflechungsmatrix

   

   Typische Aufgaben mit Verflechtungsmatrizen lauten z.B. wie folgt: Eine Möbelfabrik produziert verschiedene Modelle eines Regals. Für Modell X werden 6 Schubladen, 12 Einlegeböden und 2 Türen benötigt, für Modell Y 4 Schubladen, 12 Einlegeböden und 3 Türen, für Modell Z 6 Schubladen, 14 Einlegeböden und 4 Türen.a) Stellen Sie die Abhängigkeiten in einer Tabelle und einem Diagramm dar.b) Geben Sie die Verflechtungsmatrix an und berechnen ...

5. Mehrstufige Prozesse

   Anwendungen von Matrizen > Verflechtungsmatrizen > Mehrstufige Prozesse

   

   Interessant wird das Ganze, wenn für die Herstellung verschiedener Produkte auch noch diverse Zwischenprodukte nötig sind. Das Vorgehen ist hierbei völlig identisch, nur dass entsprechend mehr Schritte notwendig sind, um zu den benötigten Rohstoffen zu gelangen.VerflechtungsdiagrammAusgehend von dem gezeigten Diagramm wissen wir, dass zur Herstellung von zwei Endprodukten E1 und E2 vier Zwischenprodukte Z1-4 benötigt werden, welche wiederum aus den Rohstoffen R1-3 zusammengesetzt ...

6. Übergangsmatrizen

   Anwendungen von Matrizen > Übergangsmatrizen

   

   Bei Übergangsmatrizen (oder auch Prozessmatrizen genannt) gibt es keine Input- oder Outputvektoren. Stattdessen finden wir dort "Zustandsvektoren", die ein System zu einem bestimmten Zeitpunkt beschreiben.Beispiele für solche Systeme finden sich viele:Schüler, die auf verschiedene Schulen gehenPopulationsentwicklungen (Altersstruktur)Verteilung von Mietwagen auf verschiedene Niederlassungen... .In den folgenden Abschnitten wollen wir uns näher mit den Übergangsmatrizen und ...

7. Beschreibung

   Anwendungen von Matrizen > Übergangsmatrizen > Beschreibung

   

   Durch die Anwendung der (immer quadratischen!) Übergangsmatrix auf einen Zustandsvektor geht das System in einen anderen Zustand über. Man multipliziert also die entsprechende Matrix mit dem Zustandsvektor und erhält einen neuen Vektor, der den Zustand einen Schritt weiter beschreibt.Um die Übergangsmatrix zu erstellen benötigen wir Informationen über die Übergänge selbst. Diese liegen häufig (wie bei Verflechtungsmatrizen auch) in Diagrammform vor. Die ...

8. Zustandsvektoren

   Anwendungen von Matrizen > Übergangsmatrizen > Zustandsvektoren

   

   Wie der Name schon sagt, werden in einem Zustandsvektor die "Zustände" eines Systems dargestellt. Für den ersten Zustand hat sich auch der Begriff "Startvektor" eingebürgert. Nach Multiplikation des Vektors mit der Übergangsmatrix erhält man den Zustand einen Schritt später.In unserem Beispiel beschreibt der Startvektor die Verteilung aller Leihwagen auf die Stationen A, B und C. So könnten zu Beginn 150 Fahrzeuge in A, 240 in B und 120 in C sein. Der Startvektor ...

9. Fixvektor

   Anwendungen von Matrizen > Übergangsmatrizen > Fixvektor

   

   Ein Fixvektor beschreibt einen stabilen Zustand, also einen Zustand, der sich durch Anwenden der Übergangsmatrix nicht mehr ändert. Dieser Zustand wird auch „stationärer“ Zustand genannt. Häufig wird in Aufgaben verlangt, den Fixvektor zu einem gegebenem System zu bestimmen bzw. zuerst auf seine Existenz zu prüfen.Mathematisch betrachtet ist der Vektor $\vec v $ gesucht, für den gilt $M \cdot \vec v = \vec v$. Dieser kann (wenn es ihn denn gibt) aus dem zugehörigen ...