Ebenen in der analytischen Geometrie

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

Das Kapitel Ebenen in der analytischen Geometrie in unserem Online-Kurs Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla) besteht aus folgenden Inhalten:

1. Ebenen in der analytischen Geometrie

   Ebenen in der analytischen Geometrie

   

   Nachdem einige Kapitel zuvor Geraden im Dreidimensionalen beschrieben wurden, wenden wir uns jetzt den Ebenen zu. Nachdem wir mit Geraden im Zweidimensionalen schon lange umgehen ("$y=m \cdot x + c$"), begegnen uns mit Ebenen die ersten wirklich neuen Figuren. Für diese ist die räumliche Umgebung zwingend notwendig, erst dann können wir sie in all ihren Eigenschaften und ihrer ganzen (unendlich weiten) Ausdehnung erfassen.Zur Beschreibung von Ebenen gibt es in der Analytischen Geometrie ...

2. Aufstellen von Ebenen in Parameterform

   Ebenen in der analytischen Geometrie > Aufstellen von Ebenen in Parameterform

   

   Eine Linearkombination von zwei (linear unabhängigen) Vektoren spannt eine Ebene auf. Wir können uns das mit zwei Stäben veranschaulichen. Wenn die beiden in unterschiedliche Richtungen zeigen, kann man auf sie eine Platte legen.Was wir also mathematisch zum Beschreiben einer Ebene benötigen ist also ein Punkt auf der Ebene (Aufpunkt) und zwei linear unabhängige „Richtungsvektoren“. Bei Ebene spricht man von einem Stützvektor und zwei Spannvektoren. Der Stützvektor ...

3. Normalenform einer Ebene

   Ebenen in der analytischen Geometrie > Normalenform einer Ebene

   

   Eine andere Möglichkeit, eine Ebene durch eine mathematische Gleichung zu beschreiben, ist die sogenannte Normalenform. Dieser wollen wir uns jetzt gedanklich nähern:ÜberlegungenÜberlegung: Zu jeder Ebene gibt es einen Vektor, der senkrecht auf dieser Ebene steht. Diesen Vektor nennen wir „Normalenvektor“ der Ebene. Dabei spielt es überhaupt keine Rolle, von welcher Stelle auf der Ebene aus man das betrachtet. Nur die Richtung zählt!Überlegung: Das Skalarprodukt ...

4. Koordinatenform einer Ebene

   Ebenen in der analytischen Geometrie > Koordinatenform einer Ebene

   

   Auch eine Gleichung der Form $ax_1+bx_2+cx_3=d$ beschreibt eine Ebene im $\mathbb{R}^3$. Da alle Koordinaten in einer Gleichung vorkommen nennt man sie auch Koordinatenform einer Ebene. Sie beschreibt, wie x1-, x2- und x3-Koordinate eines Punktes auf der Ebene miteinander zusammenhängen.Anmerkung: Bei Geraden im Zweidimensionalen war uns bislang sogar nur die Darstellung in Koordinatenform vertraut. Eine Geradengleichung wie zum Beispiel $y=2x-3$ ist ja in anderen Koordinaten nichts anderes ...

5. Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem

   Ebenen in der analytischen Geometrie > Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem

   

   Um Ebenen in einem dreidimensionalen Koordinatensystem darstellen zu können, brauchen wir bestimmte, eindeutig erkennbare Punkte. Hierzu nehmen wir die Schnittpunkte der Ebene mit den Achsen des Koordinatensystems. Diese nennt man auch Spurpunkte.Wir erinnern uns an die Aufgaben im Zweidimensionalen die Nullstellen von Funktionen - also die Schnittpunkte ihres Graphen mit der x-Achse - zu bestimmen (y=0) und den Schnittpunkt mit der y-Achse herauszufinden (x=0 einsetzen). Im räumlichen ...

6. Ebenengleichungen umwandeln

   Ebenen in der analytischen Geometrie > Ebenengleichungen umwandeln

   

   Schauen wir uns nun an, wie man Ebenenengleichungen in die Parameterform,Koordinatenform und dieNormalenformumwandelt.Von der Parameter- zur NormalenformAus der Parametergleichung übernehmen wir den Aufpunkt der Ebene als Punkt für die Normalengleichung. Zu den beiden Spannvektoren suchen wir einen orthogonalen Vektor, den wir als Normalenvektor in die Gleichung schreiben.Den Normalenvektor erhalten wir entweder durch Lösen des Gleichungssystems, das sich aus den Skalarprodukten ...

7. Hessesche Normalenform

   Ebenen in der analytischen Geometrie > Hessesche Normalenform

   

   Eine weitere Darstellungsmöglichkeit für Ebenen ist die sogenannte Hesse’sche Normalenform. Um die Ebenengleichung auf diese Form zu bringen, normiert man den Normalenvektor in der Normalenform. Klar ist: der Normalenvektor bleibt senkrecht zur beschriebenen Ebene, er wird nur in seiner Länge verändert (normieren = stauchen/strecken auf die Länge 1!).Wählt man als Normalenvektor einer Ebene E einen Vektor der Länge 1, so bekommt man die Hesse’sche Normalenform ...