Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

Das Kapitel Geraden in unserem Online-Kurs Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla) besteht aus folgenden Inhalten:

  1. Geraden
    Geraden
    Bisher kennen wir Geraden hauptsächlich aus der Analysis - und zwar als Schaubilder von linearen Funktionsgleichungen. Eine Gerade war also die graphische Darstellung eines "einfachen" (linearen) Zusammenhangs zwischen x- und y-Wert. Jetzt wollen wir einen Schritt weitergehen und Geraden in den dreidimensionalen Raum übertragen. Hierbei stellen wir uns in diesem Kapitel folgende Fragen: Wie gehen wir jetzt mit Geraden im Dreidimensionalen um? Wie "sehen" solche Geraden denn "aus"? Wie können ...
  2. Aufstellen einer Geradengleichung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Geraden > Aufstellen einer Geradengleichung
    Aufstellen einer Geradengleichung
    Aufstellen einer Geradengleichung aus Stütz- und Richtungsvektor Um eine Gerade im $\mathbb{R}^3$ aufzustellen, reicht uns ein beliebiger Punkt der Gerade und die Richtung, in die sie zeigt. Ausführlicher: Wir nehmen den Ortsvektor $\vec{p}$ eines Punktes P der Geraden (diesen nennen wir „Stützvektor“ und den zugehörigen Punkt „Aufpunkt“) und einen Richtungsvektor $\vec{v}$. Durch eine Linearkombination von Stützvektor und einem Vielfachen des Richtungsvektors kommen wir zu jedem ...
  3. Eine Gerade - viele Gleichungen?
    Geraden > Eine Gerade - viele Gleichungen?
    ... wir im vorherigen Kapitel die Gleichung einer Geraden aufgestellt haben. Wir haben einen beliebigen Punkt der Geraden als Aufpunkt gewählt. Nun besteht eine Gerade aber aus unendlich vielen Punkten – und jeder dieser Punkte kann als Aufpunkt genommen werden ohne deswegen eine andere Gerade zu bekommen. Die Geradengleichungen $\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}$, $\vec{x}=\begin{pmatrix} 3\\2\\3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} ...
  4. Lage von Geraden
    Geraden > Lage von Geraden
    Lage von Geraden
    Hat man mit mehreren Geraden zu tun, so interessiert meist die gegenseitige Lage der Geraden zueinander. In der (zweidimensionalen) Ebene war dies einfach. Entweder haben sich die Geraden geschnitten oder sie waren parallel zueinander. Als Spezialfall der Parallelität konnten die Geraden auch aufeinander liegen, man sagt dann auch sie sind identisch. Als zusätzliche Möglichkeit im $\mathbb{R}^3$ können die Geraden jetzt auch „schräg aneinander vorbei“ laufen. Sie haben dann keinen Schnittpunkt ...
  5. Schnitte von Geraden
    Geraden > Schnitte von Geraden
    Wenn sich zwei Geraden g und h schneiden bedeutet das ja, dass sie genau einen Punkt – den Schnittpunkt – gemeinsam haben. Es gibt also einen Ortsvektor $\vec{x}$, der sowohl die Geradengleichung für g als auch die für h erfüllt. Die Koordinaten dieses Vektors bekommt man heraus, indem man die Geradengleichungen gleichsetzt. Bildlich gesprochen berechnet man, wie weit man auf den Geraden vom Aufpunkt in Richtung des Richtungsvektors gehen muss, bis man auf der anderen Gerade landet. Man erhält ...
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