Lagebeziehungen und Abstände

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

Das Kapitel Lagebeziehungen und Abstände in unserem Online-Kurs Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla) besteht aus folgenden Inhalten:

1. Lagebeziehungen und Abstände

   Lagebeziehungen und Abstände

   

   Jetzt, da wir mit Punkten, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum vertraut sind, können wir uns an die Untersuchung einzelner Objekte sowie ihrer Beziehungen untereinander wagen.Häufig ist von Interesse, wie bestimmte Objekte zueinander liegen bzw. verlaufen. Mögliche Fragestellungen sind:Liegt eine Parallelität vor oder liegen sie sogar ineinander bzw. aufeinander?Wie weit sind sie voneinander entfernt? Welches ist die kürzeste Entfernung?Schneiden sie sich? Und falls ...

2. Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen

   Lagebeziehungen und Abstände > Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen

   

   PunkteEin Punkt kann entweder auf einer Geraden liegen oder nicht. Überprüfen können wir das mithilfe einer Punktprobe (vgl. Abschnitt Geraden). Genauso gilt das für Ebenen: Setzt man die Koordinaten des Punktes in eine Ebenengleichung ein und die Gleichung ist erfüllt, so liegt der Punkt auf der Ebene. Andernfalls können wir den Abstand des Punktes von der Ebene bzw. von einer Gerade berechnen (vgl. Abschnitt Abstände).Gerade – GeradeWie zwei Geraden zueinander ...

3. Abstandsprobleme

   Lagebeziehungen und Abstände > Abstandsprobleme

   

   Das Kapitel Abstände mag anfangs unübersichtlich und schwer erscheinen. Hier sollte man sich nicht verwirren lassen, denn letztlich bleibt das Vorgehen in allen Fällen gleich. Der Abstand zweier Objekte voneinander ist definiert als deren kürzeste Entfernung. Und hier spielt der rechte Winkel, also die Orthogonalität, eine große Rolle.Ein spielerisches Beispiel soll dies verdeutlichen: Jeder Teilnehmer erhält eine Münze, die er in Richtung einer Wand wirft ...

4. Abstände von Punkten

   Lagebeziehungen und Abstände > Abstandsprobleme > Abstände von Punkten

   

   Abstand zweier Punkte P und Q voneinanderDer Abstand zweier Punkte voneinander entspricht dem Betrag ihres Verbindungsvektors $\overrightarrow{PQ}$.Die Punkte P(2|3|1) und Q(4|4|3) haben den Abstand $d=\left|\overrightarrow{PQ}\right| = \left| \begin{pmatrix}2\\1\\2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$ Längeneinheiten.Abstand eines Punktes P von einer Geraden gHier benötigen wir eine kleine Hilfskonstruktion: Wir legen eine Ebene H durch den Punkt P, die zusätzlich ...

5. Abstände von Geraden

   Lagebeziehungen und Abstände > Abstandsprobleme > Abstände von Geraden

   

   Abstand zweier paralleler Geraden g und hMan nehme einen Punkt P auf g und lege eine zu g und h orthogonale Ebene E durch den Punkt. Der Schnittpunkt von E mit der Geraden h liefert den Lotfußpunkt S. Der Abstand der beiden Geraden voneinander entspricht dem Betrag des Vektors $\overrightarrow{SP}$. Da die Geraden überall denselben Abstand haben (Parallelität!), kann jeder beliebige Punkt einer Geraden als Ausgangspunkt der Konstruktion genommen werden.Abstand zweier windschiefer ...

6. Abstände von Ebenen

   Lagebeziehungen und Abstände > Abstandsprobleme > Abstände von Ebenen

   

   Abstand zweier Ebenen E und F voneinanderNach dem Abstand zweier Ebenen voneinander zu fragen ist natürlich nur dann sinnvoll, wenn die Ebenen parallel sind. In diesem Falle wählt man einen beliebigen Punkt auf E und berechnet den Abstand dieses Punktes zur Ebene F, wie oben bereits vorgestellt und im folgenden Beispiel noch einmal erklärt:Welchen Abstand haben die beiden Ebenen E: $x_1-2x_2+2x_3=3$ und H: $-2x_1+4x_2-4x_3=-42$ voneinander?Zuerst einmal stellt man sicher, dass die ...