Lineare Gleichungssysteme

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

Das Kapitel Lineare Gleichungssysteme in unserem Online-Kurs Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla) besteht aus folgenden Inhalten:

1. Lineare Gleichungssysteme

   Lineare Gleichungssysteme

   

   Lineare Gleichungssysteme begegnen uns in der Mathematik sehr häufig. Haben wir uns in der Unter- und Mittelstufe noch meist damit zufrieden gegeben zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten zu lösen (z.B. um den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen), werden nun die Aufgabenstellungen etwas komplexer.Im folgenden Kapitel betrachten wir zunächst einmal Lösungsstrategien, um so ein Gleichungssystem zu knacken. Dabei können wir unabhängig von der Mächtigkeit eines ...

2. Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?

   Lineare Gleichungssysteme > Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?

   

   ... Gleichungen mit 3 Unbekannten x1, x2 und x3.Lineare Gleichungssysteme erwarten uns in vielen Bereichen der Mathematik. Ein paar davon werden wir uns im Folgenden widmen:Geometrische Überlegungen: Hier werden mithilfe von LGS mögliche Schnitte von Ebenen und Ebenen, Ebenen und Geraden oder Geraden und Geraden untersucht.Bestimmung ganzrationaler Funktionen: Mittels LGS können die Koeffizienten von Funktionsgleichungen aus gegebenen Eigenschaften der Funktion bzw. ihres Graphen ...

3. Lösen eines linearen Gleichungssystems

   Lineare Gleichungssysteme > Lösen eines linearen Gleichungssystems

   

   ... uns auf "schöne", eindeutig lösbare, lineare Gleichungssysteme beschränken, um sie ein bisschen besser kennen zu lernen.Das Lösen eines LGS ist auch im folgenden Video beschrieben. Dennoch lohnen auch die nächsten Kapitel, in denen das Vorgehen in aller Ausführlichkeit noch einmal verdeutlich wird.Das Video wird geladen...(lineare-gleichungssysteme)

4. Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung eines linearen Gleichungssystems

   Lineare Gleichungssysteme > Lösen eines linearen Gleichungssystems > Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung eines linearen Gleichungssystems

   

   Grundsätzlich ist zu sagen, dass wir beim Lösen der Gleichungssysteme jetzt "von Hand" vorgehen. Taschenrechner bzw. Computerprogramme können uns zwar das Rechnen später abnehmen, dennoch sollten wir dafür erst einmal verstehen, was hierbei passiert, was gemacht werden darf und was nicht.Wenn uns ein Gleichungssystem der Form $ \begin{alignat} {3}&4 x_1 &+ 2 x_2 &+ 7 x_3 &= &21 \\&         &   2 ...

5. Gauß-Verfahren

   Lineare Gleichungssysteme > Lösen eines linearen Gleichungssystems > Gauß-Verfahren

   

   Wir haben im letzten Kapitel bereits die Umformungen beschrieben, die zur Lösung eines LGS erlaubt sind. Ebenso haben wir gesehen, dass ein LGS in Stufenform recht einfach zu lösen ist. Das Gauß-Verfahren benutzt genau diese Eigenschaft. Ziel beim Gauß-Verfahren ist es, das LGS durch Umformungen auf Stufenform zu bekommen und anschließend „von unten nach oben“ aufzulösen. Dieses Verfahren funktioniert immer – die Lösbarkeit des LGS vorausgesetzt ...

6. Lösungsmöglichkeiten

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    Ein lineares Gleichungssystem hat entwedereine eindeutige Lösungkeine Lösungunendlich viele LösungenDas erkennt man am Gleichungssystem (manchmal erst nach Umformung) daran, dassalles ok istein Widerspruch steht (z.B. $3=0$)etwas unbestimmtes übrig bleibt(z.B. $x_1+2x_2=2$ )Beispiele für jede Form finden sich genug und werden im Folgenden behandelt. Je nach TR erhalten wirein brauchbares Ergebniseinen mathematischen Fehlereinen mathematischen FehlerWir können ...