Matrizen

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

Das Kapitel Matrizen in unserem Online-Kurs Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla) besteht aus folgenden Inhalten:

1. Matrizen

   Matrizen

   

   ... heißt sie quadratisch.Auch Vektoren sind Matrizen!So kann man einen Vektor wie $\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\3\\1 \end{pmatrix}$ als $ 3 \times 1$ - Matrix auffassen, die nur aus einer Spalte besteht. Ebenso könnten wir die Koordinaten eines Punktes im Dreidimensionalen, z.B. $P(2|4|0)$, als Zeilenvektor $\vec{p}=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \end{pmatrix}$ und damit als eine $1 \times 3$ - Matrix schreiben.

2. Darstellung in Matrizenform

   Matrizen > Darstellung in Matrizenform

   

   ... Möglichkeiten kennen lernen, mit Matrizen umzugehen und zu rechnen.

3. Besondere Matrizen

   Matrizen > Besondere Matrizen

   

   Was bitte sind "besondere" Matrizen?In diesem Kapitel werden kurz ein paar Begriffe bzw. Bezeichungen eingeführt, die recht nützlich sind, wenn man mit Matrizen arbeitet.Meistens interessieren uns hierbei bestimmte "Strukturen" einer Matrix die entstehen, wenn diese Matrix einige Null-Einträge hat. Welche besonderen Auswirkungen das Rechnen mit solchen "besonderen" Matrizen hat ist hingegen nicht Thema des Kurses (und auch nicht weiter relevant fürs Abitur).Nur bei einer Sache, ...

4. Einheitsmatrix

   Matrizen > Besondere Matrizen > Einheitsmatrix

   

   ... 0 & \ldots & 1 \end{pmatrix}$Einheitsmatrizen werden in der Folge noch für Rechnungen wichtig sein (z.B. um die Inverse Matrix zu bestimmen). Für die Multiplikation mit Einheitsmatrizen gilt: $A \cdot E = A$, genauso umgekehrt $E \cdot A = A$.

5. Dreiecksmatrix

   Matrizen > Besondere Matrizen > Dreiecksmatrix

   

   ... haben (also ist auch null erlaubt). Dreiecksmatrizen spielen eine Rolle beim Lösen Linearer Gleichungssysteme (LGS). So ist das Lösen eines Gleichungssystems nach dem Gauß’schen  Verfahren nichts anderes als das Umformen der entsprechenden Matrix in die Dreiecksform.

6. Inverse Matrix

   Matrizen > Besondere Matrizen > Inverse Matrix

   

   Zwei Matrizen A und B sind zueinander invers, wenn das Produkt aus beiden die Einheitsmatrix ergibt. Auch hier müssen A und B quadratisch sein. Die zu A inverse Matrix wird häufig auch mit $A^{-1}$ bezeichnet.$A$ und $B$ sind invers zueinander ($B=A^{-1}$), wenn gilt: $A \cdot B = E = B \cdot A$.Die Matrizen $A= \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ und $B= \begin{pmatrix} -0,5 & -0,5 & 0,5 \\ 0,25 & -0,25 & 0,25 \\ ...