Rechnen mit Vektoren

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

Das Kapitel Rechnen mit Vektoren in unserem Online-Kurs Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla) besteht aus folgenden Inhalten:

1. Rechnen mit Vektoren

   Rechnen mit Vektoren

   

   Nachdem wir uns in den vergangenen Abschnitten damit auseinandergesetzt haben was Vektoren eigentlich sind, lernen wir nun mit ihnen umzugehen.Wir werden Vektoren addieren und subtrahieren, sie strecken und stauchen. Ihren Betrag bestimmen oder sie auf eine vorgegebene Länge bringen. Wir werden sie kombinieren, einen durch andere ersetzen und sie in Verhältnisse zueinander stellen.Wir werden uns also genau die Fertigkeiten aneignen, die wir dann brauchen, um einfache Figuren im Raum beschreiben ...

2. Addition und Subtraktion von Vektoren

   Rechnen mit Vektoren > Addition und Subtraktion von Vektoren

   

   Vektoren können addiert oder voneinander subtrahiert werden. Hierbei werden die Vektoren zeilenweise addiert bzw. subtrahiert. Man betrachtet also jede Koordinatenrichtung einzeln.Addition von VektorenWir addieren die Vektoren $\vec{a}= \begin{pmatrix} 1\\2\\-3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}= \begin{pmatrix} 2 \\ - 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Der resultierende Vektor $\vec{c}$ berechnet sich also durch $\vec{c}=\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 1\\2\\-3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2 \\ - 1 \\ 1 ...

3. Vektor zwischen zwei Punkten

   Rechnen mit Vektoren > Vektor zwischen zwei Punkten

   

   Wie können wir einen Vektor angeben, der von einem Punkt zum nächsten zeigt? Das ist jetzt kein Problem mehr. Wir betrachten wieder einzeln die Koordinaten der Punkte und schauen uns deren Differenz an.Vektor zwischen zwei PunktenVon Punkt P(3|1|4) zu Punkt Q(4|4|3).In x1-Richtung: von 3 zu 4 entspricht 4-3=1 (1 nach vorne).In x2-Richtung: von 1 zu 4 entspricht 4-1=3 (3 nach rechts) undin x3-Richtung: von 4 zu 3 entspricht 3-4=-1 (1 nach unten).Mathematisch korrekt beschreiben wir diese ...

4. Betrag eines Vektors berechnen

   Rechnen mit Vektoren > Betrag eines Vektors berechnen

   

   Von einer gewissen Wichtigkeit ist der Betrag eines Vektors bzw. die Länge des zugehörigen Pfeiles. So hat ein Vektor $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ logischerweise den Betrag 1, der Vektor $\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$ den Betrag 2 usw. Der Vektor $\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ allerdings hat nicht die Länge 2+1+2=5 Längeneinheiten (LE). Die Einträge „zeigen“ ja in unterschiedliche Richtungen! Wie lang ist aber nun der „resultierende ...

5. Vielfache von Vektoren bilden

   Rechnen mit Vektoren > Vielfache von Vektoren bilden

   

   Wenn wir mit dem Vielfachen eines Vektors zu tun haben, so bedeutet das nichts anderes als eine mehrfach ausgeführte Verschiebung.$3 \cdot\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}$ bedeutet eine Verschiebung von $3 \cdot 2$ in x1-Richtung, $3 \cdot 1$ in x2-Richtung und $3 \cdot 5$ in x3-Richtung.Es gilt also $3 \cdot\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\3\\15\end{pmatrix}$.Dasselbe gilt natürlich auch, wenn ...

6. Linearkombination von Vektoren

   Rechnen mit Vektoren > Linearkombination von Vektoren

   

   Als Linearkombination bezeichnen wir eine Addition von Vektoren und/oder Vielfachen davon.So wäre eine Linearkombination der Vektoren $\vec{a}, \vec{b}$ und $\vec{c}$ zum Beispiel $3\cdot\vec{a} + 2\cdot\vec{b} + 3\cdot\vec{c}$. Eine andere ist $\vec{a} – 3\cdot\vec{b} + 5\cdot\vec{c}$.Allgemein gilt: $r\cdot\vec{a} + s\cdot\vec{b} + t\cdot\vec{c}$.Wenn als Vektoren zum Beispiel $\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}, \vec{b}=\begin{pmatrix}5\\-2\\1\end{pmatrix}, \vec{c}=\begin{pmatrix}0\\3\\5\end{pmatrix}$ ...

7. Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren

   Rechnen mit Vektoren > Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren

   

   Ist ein Vektor durch eine Linearkombination zweier anderer darstellbar, so heißen die drei Vektoren auch linear abhängig zueinander. Bildlich vorgestellt heißt dies, dass der resultierende Vektor als Kombination der beiden anderen in derselben Ebene wie diese liegen muss.Beispiel des Nachweises einer linearen AbhängigkeitSind die Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}$ und $\vec{c}=\begin{pmatrix}2\\1\\8\end{pmatrix}$ ...