Weitere Rechenoperationen mit Vektoren

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

Das Kapitel Weitere Rechenoperationen mit Vektoren in unserem Online-Kurs Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla) besteht aus folgenden Inhalten:

1. Weitere Rechenoperationen mit Vektoren

   Weitere Rechenoperationen mit Vektoren

   

   Im weiteren Verlauf dieses Kurses benötigen wir noch weitere Eigenschaften der Vektoren bzw. brauchen wir mehr Möglichkeiten, wie man mit Vektoren arbeiten kann.Bisher haben wir Vektoren zum Beschreiben von Figuren (Punkten, Geraden) benutzt und mehrere Vektoren zu neuen kombiniert, um Abhängigkeiten aufzudecken. Jetzt wollen wir hauptsächlich messen und Größen mithilfe von Vektoren bestimmen.Für eine Längenmessung brauchen wir so etwas wie ein Maßband, ...

2. Normierung eines Vektors

   Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Normierung eines Vektors

   

   Um später mit Vektoren Messungen anstellen zu können, müssen wir über ihren Betrag Bescheid wissen.Den Betrag eines Vektors bzw. die Länge des zugehörigen Pfeiles ermittelt man durch $|\vec{v}|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$.Ein Vektor $\vec{v}$ heißt normiert, wenn er den Betrag 1 hat, also wenn $|\vec{v}|=1$.Ein beliebiger Vektor kann normiert werden, indem man ihn mit dem Kehrwert seines Betrages multipliziert. Bildlich gesprochen dividiert man durch die „Länge“ ...

3. Skalarprodukt zweier Vektoren

   Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Skalarprodukt zweier Vektoren

   

   Für die Multiplikation von Vektoren sind sicherlich verschiedene Möglichkeiten denkbar. Man könnte sich beispielsweise vorstellen, sämtliche Einträge mehrerer Vektoren miteinander zu multiplizieren. Andererseits ist bei den meisten solcher Überlegungen nicht ersichtlich, worin der Nutzen oder die Bedeutung einer solchen rechnerischen Verknüpfung liegt.Aber: Eine Rechenoperation mit Vektoren nennt sich Skalarprodukt und diese wird sehr häufig in der (Schul-)Mathematik ...

4. Vektoren und Winkel

   Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Vektoren und Winkel

   

   Um später Schnittwinkel zwischen Geraden und/oder Ebenen ausrechnen zu können, benutzt man wiederum die gegenseitige Lage zweier Vektoren zueinander. Für den Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt:$\cos{\alpha}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ mit $0 \le \alpha \le 180^\circ $. Für die Größe des Winkels zwischen den Vektoren $\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 4\\0\\3 \end{pmatrix}$ ...

5. Vektorprodukt / Kreuzprodukt

   Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Vektorprodukt / Kreuzprodukt

   

   Eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren ist das Vektorprodukt, welches häufig auch Kreuzprodukt genannt wird.Das Vektorprodukt der Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}$ wird berechnet durch $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 – a_3 b_2 \\ a_3 b_1 – a_1 b_3 \\ a_1 b_2 – a_2 b_1 \end{pmatrix}$.Das Ergebnis des Vektorprodukts $\vec{a} \times \vec{b}$ ...