Definition und Beispiele
Weiß man, dass ein Ereignis B mit $P (B) > 0$ bei einem Zufallsexperiment eingetreten ist, hat das einen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeiten anderer Ereignisse. Sind die Ereignisse A und B unvereinbar, so ist mit dem Eintreten von B die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A schlagartig auf $P_B(A) = 0$ gesunken. Haben die Ereignisse einen nicht leeren Schnitt ist also $P(A \cap B ) > 0 $ so ergibt sich die neue (bedingte) Wahrscheinlichkeit aus dem Anteil den $P(A \cap B )$ an $P( B )$ ausmacht.
Merke
Definition bedingte Wahrscheinlichkeit
$A,B \in \mathcal{P}(\Omega)$ und $P(B)>0$ dann ist
$\large \bf P_B(A)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B.
Eine andere gebräuchliche Schreibweise für bedingte Wahrscheinlichkeiten ist
$\bf P(A|B)= P_B(A)$
Beispiel
Busfahrt
In einem Bus sind 20% von den 15 weiblichen Fahrgäste blond, bei den 20 männlichen Fahrgästen beträgt der Anteil der Blonden 30%. Daraus ergibt sich, dass insgesamt 9 blonde Fahrgäste im Bus sitzen. Ihr Anteil beträgt also $\frac{9}{35}\approx 26\%$ . Die Wahrscheinlichkeit, dass als nächstes ein blonder Fahrgast aussteigt beträgt also $P(blond) \approx 26 \%$. Wenn nur Frauen aufstehen, um auszusteigen beträgt die bedingte Wahrscheinlichkeit jetzt nur $P_F(blond)= 20\%$. Das Eintreten des Ereignisses F= “als nächstes steigt eine Frau aus“, hat die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses blond = “als nächstes steigt eine blonde Person aus” verringert, weil der Anteil der Blonden bei den Frauen im Bus eben etwas kleiner ist, als unter allen Fahrgästen.
(Übung) Zur Veranschaulichung können sie das Beispiel in einem Baumdiagramm aufzeichnen.
Multiplikationssatz
Eine einfache Umformung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit führt zum Multiplikationssatz.
$\large \bf P(A\cap B)= P(B) \cdot P_B(A) = P(A) \cdot P_A(B) = P( B \cap A)$
Beispiel
Mit dem Multiplikationssatz können wir z.B. die Wahrscheinlichkeit berechnen, mit der als nächstes eine blonde Frau aus dem Bus aussteigt (der Bus aus dem vorherigen Beispiel).
$P(blond \cap F ) = P(F) \cdot P_F(blond) =\large \frac{15}{35} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{35}$
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