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Wahrscheinlichkeitsfunktion

Um mit Wahrscheinlichkeiten rechnen zu können, benötigt man noch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion P, die Ereignissen A eine Wahrscheinlichkeit P(A) zuordnet. In der Praxis ist diese Zuordnung meist nicht ohne weiteres möglich. Für einige einfache Zufallsexperimente kann man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch theoretische Überlegung gewinnen (Würfel, Urne mit gleichartigen Kugeln u.ä.)

Beispiel

Münzwurf

$P(\emptyset) = 0 \;\;\; , P(\{K\}) = P(\{Z\}) = \frac{1}{2} \;\;\; ,  P(\Omega = \{K,Z\}) =1 $

Empirisches Gesetz der großen Zahlen

Häufig ist man aber auf die Statistik angewiesen, um die Wahrscheinlichkeiten zumindest nährungsweise zu bestimmen. Hierbei betrachtet man die relativen Häufigkeiten $h_n(A)$, mit der ein Ereignis A bei n Wiederholungen eines Zufallsexperiments eintritt. Dabei stellt man fest, dass sich die relativen Häufigkeiten mit wachsendem n immer weniger ändern. Sie stabilisieren sich, um eine feste Zahl zwischen 0 und 1, die man als Nährungswert der gesuchten Wahrscheinlichkeit von A ansehen kann.

Merke

Die relative Häufigkeit $h_n(A)$ eines Ereignisses A stabilisiert sich mit wachsendem n um eine Zahl im Intervall $[0;1]$  

(Empirisches Gesetz der großen Zahlen)

Axiome von Kolmogorow

Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion muss einigen Bedingungen genügen, damit sie ein Zufallsexperiment richtig beschreibt. Der russische Mathematiker Kolmogorow hat in den 1930er Jahren ein Axiomsystem, das mit drei Bedingungen auskommt gefunden. Mit dieser Funktion und ihren Eigenschaften, sowie den Mengenoperation (Vereinigung, Durchschnitt, Komplement) im Ereignisraum kann man jetzt Wahrscheinlichkeiten rechnerisch ermitteln.

Merke

Eine Funktion $P: \mathcal{P}(\Omega) \rightarrow [0;1]$ heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion (Wahrscheinlichkeitsverteilung, Wahrscheinlichkeitsmaß), wenn sie die folgenden Bedingungen erfüllt ($A,B \in \mathcal{P}(\Omega)$):

Axiom 1: $P(A) \geq 0$ (Nichtnegativität)

Axiom 2: $P(\Omega) = 1 $ (Normiertheit)

Axiom 3: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$  falls $A \cap B = \emptyset$  (Additivität)

Wahrscheinlichkeitsraum

Das Tripel $ ( \Omega , \mathcal{P}(\Omega) , P ) $ bezeichnet man als (diskreten) Wahrscheinlichkeitsraum, falls $\Omega$ endlich ist. Für unendliche Ergebnismengen muss man die Axiome von Kolmogorow etwas anpassen.

Multiple-Choice

$\Omega = \{x,y,z \}$ und $P$ ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf $\mathcal{P}(\Omega)$ mit

$\large P(x)=\frac{1}{3}\cdot P(y)$ und $\large P(y) =\frac{1}{5}\cdot P(z)$ .

Bestimmen Sie $P(x)$ .

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Vorstellung des Online-Kurses StochastikStochastik
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Stochastik

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
  • 29
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  • 107
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