Gütefunktion und Operationscharakteristik

Um verschiedene Tests miteinander zu vergleichen, betrachtet man ihre Gütefunktionen und ihre Operationscharakteristiken.

Gütefunktion

Die Gütefunktion $\bf g$ eines Test ordnet jedem Wert von $p$ die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung von $H_0$, unter der Bedingung das $p$ die wirkliche Wahrscheinlichkeit ist zu.

$\large \bf g: \;  p \mapsto P_p(X \in \overline{A})$

Es gilt :   $g(p) = P( Fehler \; 1.Art)$   falls  $p \in H_0$

Operationscharakteristik

Die Operationscharakteristik $\bf O$ ordnet jedem $p$ die Wahrscheinlichkeit der Annahme von $H_0$ zu.

$\large \bf O: \; p \mapsto O(p)=1-g(p)$

Es gilt:   $O(p) = P (Fehler \; 2.Art )$   falls $ p \in H_1$

Idealer Test

Ein Test, der für jeden Wert von $p$ stets die richtige Entscheidung für oder gegen die Nullhypothese trifft wird idealer Test genannt.

$\large g(p) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mid p \in H_0 \\ 1 & \mid p \in H_1 \end{array} \right.$

Ein Test ist umso besser, je mehr er sich der Gütefunktion des entsprechenden idealen Tests annährt. Tests werden besser, wenn man den Stichprobenumfang erhöht.