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Einführung beurteilende Statistik

Test

Bei einem statistischen Test geht es darum, begründete Vermutungen (Hypothesen) über die Wahrscheinlichkeit p des Auftretens eines bestimmten Merkmals in einer Grundgesamtheit (z.B. $\frac{1}{7}$  aller Deutschen sind an einem Sonntag geboren) durch Untersuchungen von Stichproben entweder abzulehnen oder nicht. Ein Verfahren, das diese Entscheidung ermöglicht nennt man einen Test.

Merke

Nullhypothese $\bf H_0$

Die zu überprüfende Hypothese wird Nullhypothese $\bf H_0$ genannt. Die Negation der Nullhypothese wird Alternativhypothese $\bf H_1$ oder $\bf \overline{H}$ genannt.

In unserem Beispiel wäre $\bf H_0 : \; p = \frac{1}{7}$ die Nullhypothese und $\bf H_1 : \; p \neq \frac{1}{7}$ die Alternativhypothese. Zum Testen benötigt man jetzt noch eine Zufallsgröße $X$ die von p abhängt und der Stichprobe einen Wert zuordnet. Man könnte hier z.B.

$\bf X =$ Anzahl der Sonntagskinder in der Stichprobe verwenden. $\bf X \sim b_{n,\frac{1}{7}}$- verteilt zumindest wenn $H_0$ zutrifft. Gegen diese Hypothese würden Werte von $X$ sprechen, die deutlich von $\bf EX= n \cdot \frac{1}{7}$ abweichen.

Merke

Ablehnungsbereich

Ist $X$ eine Zufallsgröße, die von p abhängt. Dann bezeichnet man die Werte von $X$, für die $\bf H_0$ abgelehnt wird als Ablehnungsbereich $\bf \overline{A}$. Der Annahmebereich $\bf A$ ist Menge der verbleibenden Werte von $X$.

Um zu einer Entscheidung zu gelangen, muss man jetzt festlegen, für welche Werte von $X$ man $H_0$ ablehnen will.

Bei einer Stichprobengröße von 140 Personen ist $EX = 20$.

$\large \overline{A}=\{X < 10\} \cup \{ X > 30 \}$

wäre dann ein möglicher Ablehnungsbereich.

Merke

Fehler 1.Art und Fehler 2. Art

Wird $\bf H_0$ fälschlicherweise abgelehnt spricht man von einem Fehler 1.Art. Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1.Art wird mit $\large \bf \alpha$ bezeichnet und Irrtumswahrscheinlichkeit oder Signifikanzniveau des Test genannt.

Ein Fehler 2. Art macht man dann, wenn $\bf H_0$ in Wirklichkeit falsch ist, aber nicht abgelehnt wird. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit wird mit $\large\bf \beta$ bezeichnet.

Die Irrtumswahrscheinlichkeit unseres Test ist

$\large \alpha = P(X \in \overline{A}) = P(X \leq 9) +( 1 - P(X \leq 30)) \approx 1,1 \%$

D.h. wenn wir $H_0$ ablehnen liegen wir in $1 - \alpha \approx 98,9 \%$ der Fälle damit richtig. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art kann man hier nicht berechnen, weil man den wirklichen Wert von p nicht kennt.

Multiple-Choice
Wie nennt man die bei einem Test zu überprüfende Hypothese ?
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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Vorstellung des Online-Kurses StochastikStochastik
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stochastik

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
  • 29
  • 13
  • 107
  • 15

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