Einführung beurteilende Statistik

Test

Bei einem statistischen Test geht es darum, begründete Vermutungen (Hypothesen) über die Wahrscheinlichkeit p des Auftretens eines bestimmten Merkmals in einer Grundgesamtheit (z.B. $\frac{1}{7}$  aller Deutschen sind an einem Sonntag geboren) durch Untersuchungen von Stichproben entweder abzulehnen oder nicht. Ein Verfahren, das diese Entscheidung ermöglicht nennt man einen Test.

In unserem Beispiel wäre $\bf H_0 : \; p = \frac{1}{7}$ die Nullhypothese und $\bf H_1 : \; p \neq \frac{1}{7}$ die Alternativhypothese. Zum Testen benötigt man jetzt noch eine Zufallsgröße $X$ die von p abhängt und der Stichprobe einen Wert zuordnet. Man könnte hier z.B.

$\bf X =$ Anzahl der Sonntagskinder in der Stichprobe verwenden. $\bf X \sim b_{n,\frac{1}{7}}$- verteilt zumindest wenn $H_0$ zutrifft. Gegen diese Hypothese würden Werte von $X$ sprechen, die deutlich von $\bf EX= n \cdot \frac{1}{7}$ abweichen.

Um zu einer Entscheidung zu gelangen, muss man jetzt festlegen, für welche Werte von $X$ man $H_0$ ablehnen will.

Bei einer Stichprobengröße von 140 Personen ist $EX = 20$.

$\large \overline{A}=\{X < 10\} \cup \{ X > 30 \}$

wäre dann ein möglicher Ablehnungsbereich.

Die Irrtumswahrscheinlichkeit unseres Test ist

$\large \alpha = P(X \in \overline{A}) = P(X \leq 9) +( 1 - P(X \leq 30)) \approx 1,1 \%$

D.h. wenn wir $H_0$ ablehnen liegen wir in $1 - \alpha \approx 98,9 \%$ der Fälle damit richtig. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art kann man hier nicht berechnen, weil man den wirklichen Wert von p nicht kennt.