Einführung beurteilende Statistik

Test

Bei einem statistischen Test geht es darum, begründete Vermutungen (Hypothesen) über die Wahrscheinlichkeit p des Auftretens eines bestimmten Merkmals in einer Grundgesamtheit (z.B. $\frac{1}{7}$  aller Deutschen sind an einem Sonntag geboren) durch Untersuchungen von Stichproben entweder abzulehnen oder nicht. Ein Verfahren, das diese Entscheidung ermöglicht nennt man einen Test.

In unserem Beispiel wäre $\bf H.0 : \; p = \frac{1}{7}$dieNullhypotheseund$\bf H.1 : \; p \neq \frac{1}{7}$dieAlternativhypothese.ZumTestenbenötigtmanjetztnocheineZufallsgröße$X$ die von p abhängt und der Stichprobe einen Wert zuordnet. Man könnte hier z.B.

$\mathbf{X}\mathbf{=}$ Anzahl der Sonntagskinder in der Stichprobe verwenden. $\mathbf{X}\sim {\mathbf{b}}_{\mathbf{n}\mathbf{,}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{7}}}$- verteilt zumindest wenn $H.0$zutrifft.GegendieseHypothesewürdenWertevon$X$sprechen,diedeutlichvon$\bf EX= n \cdot \frac{1}{7}$ abweichen.

Um zu einer Entscheidung zu gelangen, muss man jetzt festlegen, für welche Werte von $X$ man $H.0$ ablehnen will.

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Bei einer Stichprobengröße von 140 Personen ist $EX=20$.

$\bar{A}=\{X<10\}\cup \{X>30\}$

wäre dann ein möglicher Ablehnungsbereich.

Die Irrtumswahrscheinlichkeit unseres Test ist

$\alpha =P(X\in \bar{A})=P(X\le 9)+(1-P(X\le 30))\approx 1,1\mathrm{\%}$

D.h. wenn wir $H.0$ablehnenliegenwirin$1 - \alpha \approx 98,9 \%$ der Fälle damit richtig. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art kann man hier nicht berechnen, weil man den wirklichen Wert von p nicht kennt.