Einführung beurteilende Statistik
Test
Bei einem statistischen Test geht es darum, begründete Vermutungen (Hypothesen) über die Wahrscheinlichkeit p des Auftretens eines bestimmten Merkmals in einer Grundgesamtheit (z.B. $\frac{1}{7}$ aller Deutschen sind an einem Sonntag geboren) durch Untersuchungen von Stichproben entweder abzulehnen oder nicht. Ein Verfahren, das diese Entscheidung ermöglicht nennt man einen Test.
Merke
Nullhypothese $\bf H_0$
Die zu überprüfende Hypothese wird Nullhypothese $\bf H_0$ genannt. Die Negation der Nullhypothese wird Alternativhypothese $\bf H_1$ oder $\bf \overline{H}$ genannt.
In unserem Beispiel wäre $\bf H_0 : \; p = \frac{1}{7}$ die Nullhypothese und $\bf H_1 : \; p \neq \frac{1}{7}$ die Alternativhypothese. Zum Testen benötigt man jetzt noch eine Zufallsgröße $X$ die von p abhängt und der Stichprobe einen Wert zuordnet. Man könnte hier z.B.
$\bf X =$ Anzahl der Sonntagskinder in der Stichprobe verwenden. $\bf X \sim b_{n,\frac{1}{7}}$- verteilt zumindest wenn $H_0$ zutrifft. Gegen diese Hypothese würden Werte von $X$ sprechen, die deutlich von $\bf EX= n \cdot \frac{1}{7}$ abweichen.
Merke
Ablehnungsbereich
Ist $X$ eine Zufallsgröße, die von p abhängt. Dann bezeichnet man die Werte von $X$, für die $\bf H_0$ abgelehnt wird als Ablehnungsbereich $\bf \overline{A}$. Der Annahmebereich $\bf A$ ist Menge der verbleibenden Werte von $X$.
Um zu einer Entscheidung zu gelangen, muss man jetzt festlegen, für welche Werte von $X$ man $H_0$ ablehnen will.
Bei einer Stichprobengröße von 140 Personen ist $EX = 20$.
$\large \overline{A}=\{X < 10\} \cup \{ X > 30 \}$
wäre dann ein möglicher Ablehnungsbereich.
Merke
Fehler 1.Art und Fehler 2. Art
Wird $\bf H_0$ fälschlicherweise abgelehnt spricht man von einem Fehler 1.Art. Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1.Art wird mit $\large \bf \alpha$ bezeichnet und Irrtumswahrscheinlichkeit oder Signifikanzniveau des Test genannt.
Ein Fehler 2. Art macht man dann, wenn $\bf H_0$ in Wirklichkeit falsch ist, aber nicht abgelehnt wird. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit wird mit $\large\bf \beta$ bezeichnet.
Die Irrtumswahrscheinlichkeit unseres Test ist
$\large \alpha = P(X \in \overline{A}) = P(X \leq 9) +( 1 - P(X \leq 30)) \approx 1,1 \%$
D.h. wenn wir $H_0$ ablehnen liegen wir in $1 - \alpha \approx 98,9 \%$ der Fälle damit richtig. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art kann man hier nicht berechnen, weil man den wirklichen Wert von p nicht kennt.
Hinweis:
Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.
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