Einführung beurteilende Statistik
Test
Bei einem statistischen Test geht es darum, begründete Vermutungen (Hypothesen) über die Wahrscheinlichkeit p des Auftretens eines bestimmten Merkmals in einer Grundgesamtheit (z.B. $\frac{1}{7}$ aller Deutschen sind an einem Sonntag geboren) durch Untersuchungen von Stichproben entweder abzulehnen oder nicht. Ein Verfahren, das diese Entscheidung ermöglicht nennt man einen Test.
Merke
Nullhypothese $\bf H_0$
Die zu überprüfende Hypothese wird Nullhypothese $\bf H_0$ genannt. Die Negation der Nullhypothese wird Alternativhypothese $\bf H_1$ oder $\bf \overline{H}$ genannt.
In unserem Beispiel wäre $\bf H_0 : \; p = \frac{1}{7}$ die Nullhypothese und $\bf H_1 : \; p \neq \frac{1}{7}$ die Alternativhypothese. Zum Testen benötigt man jetzt noch eine Zufallsgröße $X$ die von p abhängt und der Stichprobe einen Wert zuordnet. Man könnte hier z.B.
$\bf X =$ Anzahl der Sonntagskinder in der Stichprobe verwenden. $\bf X \sim b_{n,\frac{1}{7}}$- verteilt zumindest wenn $H_0$ zutrifft. Gegen diese Hypothese würden Werte von $X$ sprechen, die deutlich von $\bf EX= n \cdot \frac{1}{7}$ abweichen.
Merke
Ablehnungsbereich
Ist $X$ eine Zufallsgröße, die von p abhängt. Dann bezeichnet man die Werte von $X$, für die $\bf H_0$ abgelehnt wird als Ablehnungsbereich $\bf \overline{A}$. Der Annahmebereich $\bf A$ ist Menge der verbleibenden Werte von $X$.
Um zu einer Entscheidung zu gelangen, muss man jetzt festlegen, für welche Werte von $X$ man $H_0$ ablehnen will.
Bei einer Stichprobengröße von 140 Personen ist $EX = 20$.
$\large \overline{A}=\{X < 10\} \cup \{ X > 30 \}$
wäre dann ein möglicher Ablehnungsbereich.
Merke
Fehler 1.Art und Fehler 2. Art
Wird $\bf H_0$ fälschlicherweise abgelehnt spricht man von einem Fehler 1.Art. Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1.Art wird mit $\large \bf \alpha$ bezeichnet und Irrtumswahrscheinlichkeit oder Signifikanzniveau des Test genannt.
Ein Fehler 2. Art macht man dann, wenn $\bf H_0$ in Wirklichkeit falsch ist, aber nicht abgelehnt wird. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit wird mit $\large\bf \beta$ bezeichnet.
Die Irrtumswahrscheinlichkeit unseres Test ist
$\large \alpha = P(X \in \overline{A}) = P(X \leq 9) +( 1 - P(X \leq 30)) \approx 1,1 \%$
D.h. wenn wir $H_0$ ablehnen liegen wir in $1 - \alpha \approx 98,9 \%$ der Fälle damit richtig. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art kann man hier nicht berechnen, weil man den wirklichen Wert von p nicht kennt.
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