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Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion F einer Zufallsgröße $X$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass nur Werte bis zu einer bestimmten Größe angenommen werden.

$ \large \bf F(x) = P( X \leq x ) = \sum_{x_i \leq x } f(x_i) $    (für endliche Zufallsgrößen)

$ \large \bf F(x) = P ( X \leq x ) = \int_{- \infty}^x f(t) dt $   (für stetige Zufallsgrößen)

Die Verteilungsfunktion F(k) summiert (kumuliert) dazu die Wahrscheinlichkeiten der Werte von $X$, die kleiner oder gleich k sind.

Beispiel

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Verteilungsfunktion einer endlichen Zufallsgröße

Die Zufallsgröße $X$ mit der folgendenden Wahrscheinlichkeitsverteilung.

$\large k$125
$\large P(X=k)$0,20,70,1

hat diese Verteilungsfunktion:

$ \begin{equation} F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & falls\; x \in ]-\infty;1[ \\ 0,2 & falls\; x \in [1;2[ \\ 0,9 &falls\; x \in [2;5[ \\ 1 & falls\; x \geq 5 \end{array} \right. \end{equation}$

Beispiel für eine Verteilungsfunktion einer endlichen Zufallsgröße
Verteilungsfunktion zum Beispiel

Sie hat die Form einer Treppenfunktion mit 3 Sprungstellen, weil der Funktionswert von F sich jeweils beim Erreichen des nächsten Wertes von $X$, um dessen Wahrscheinlichkeit erhöht. Für Werte, die größer oder gleich dem maximalen Wert von $X$ sind hat $F(x)$ den Wert 1.

Beispiel

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Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgröße

Die stetige Zufallsgröße $X$ ist gleichverteilt über dem Intervall $[1;5]$. Die zugehörige Dichte $f(x)$ und Verteilungsfunktion $F(x)$ sind:

$ \begin{equation} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & falls\; x \in ]-\infty;1[ \\ 0,25 & falls\; x \in [1;5] \\ 0 & falls \; x > 5 \end{array} \right. \end{equation}$

$ \begin{equation} F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & falls\; x \in ]-\infty;1[ \\ 0,25 \cdot (x - 1) & falls\; x \in [1;5] \\ 1 & falls \; x > 5 \end{array} \right. \end{equation}$

Graph einer stetige Verteilungsfunktion
Graph der stetigen Verteilungsfunktion

Merke

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Eigenschaften von Verteilungsfunktionen.

1. $ \large F(x) \in [0 ,1] $

2. $ \large \lim_{x \rightarrow - \infty} F(x) = 0 $

3. $ \large \lim_{x \rightarrow + \infty} F(x) = 1 $

4. $\large F(x) $ ist monoton wachsend.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stochastik

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
  • 29
  • 13
  • 106
  • 35