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Die Verteilungsfunktion F einer Zufallsgröße $X$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass nur Werte bis zu einer bestimmten Größe angenommen werden.

$ \large \bf F(x) = P( X \leq x ) = \sum_{x_i \leq x } f(x_i) $    (für endliche Zufallsgrößen)

$ \large \bf F(x) = P ( X \leq x ) = \int_{- \infty}^x f(t) dt $   (für stetige Zufallsgrößen)

Die Verteilungsfunktion F(k) summiert (kumuliert) dazu die Wahrscheinlichkeiten der Werte von $X$, die kleiner oder gleich k sind.

Beispiel

Verteilungsfunktion einer endlichen Zufallsgröße

Die Zufallsgröße $X$ mit der folgendenden Wahrscheinlichkeitsverteilung.

$\large k$ 1 2 5
$\large P(X=k)$ 0,2 0,7 0,1

hat diese Verteilungsfunktion:

$ \begin{equation} F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & falls\; x \in ]-\infty;1[ \\ 0,2 & falls\; x \in [1;2[ \\ 0,9 &falls\; x \in [2;5[ \\ 1 & falls\; x \geq 5 \end{array} \right. \end{equation}$

Beispiel für eine Verteilungsfunktion einer endlichen Zufallsgröße
Verteilungsfunktion zum Beispiel

Sie hat die Form einer Treppenfunktion mit 3 Sprungstellen, weil der Funktionswert von F sich jeweils beim Erreichen des nächsten Wertes von $X$, um dessen Wahrscheinlichkeit erhöht. Für Werte, die größer oder gleich dem maximalen Wert von $X$ sind hat $F(x)$ den Wert 1.

Beispiel

Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgröße

Die stetige Zufallsgröße $X$ ist gleichverteilt über dem Intervall $[1;5]$. Die zugehörige Dichte $f(x)$ und Verteilungsfunktion $F(x)$ sind:

$ \begin{equation} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & falls\; x \in ]-\infty;1[ \\ 0,25 & falls\; x \in [1;5] \\ 0 & falls \; x > 5 \end{array} \right. \end{equation}$

$ \begin{equation} F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & falls\; x \in ]-\infty;1[ \\ 0,25 \cdot (x - 1) & falls\; x \in [1;5] \\ 1 & falls \; x > 5 \end{array} \right. \end{equation}$

Graph einer stetige Verteilungsfunktion
Graph der stetigen Verteilungsfunktion

Merke

Eigenschaften von Verteilungsfunktionen.

1. $ \large F(x) \in [0 ,1] $

2. $ \large \lim_{x \rightarrow - \infty} F(x) = 0 $

3. $ \large \lim_{x \rightarrow + \infty} F(x) = 1 $

4. $\large F(x) $ ist monoton wachsend.

Multiple-Choice
Die Dichtefunktion der stetigen Zufallsgröße $X$ ist gegeben durch:

$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 3\cdot x^2 & \mid x \in [0 ; 1 ] \\ 0 & sonst \end{array} \right. $

Berechnen Sie $F(0,5)$.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

$F(k) = \int_{- \infty}^k f(x) dx$

Vorstellung des Online-Kurses StochastikStochastik
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stochastik

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
  • 29
  • 13
  • 107
  • 15

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  • Miriam

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