Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion F einer Zufallsgröße $X$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass nur Werte bis zu einer bestimmten Größe angenommen werden.
$ \large \bf F(x) = P( X \leq x ) = \sum_{x_i \leq x } f(x_i) $ (für endliche Zufallsgrößen)
$ \large \bf F(x) = P ( X \leq x ) = \int_{- \infty}^x f(t) dt $ (für stetige Zufallsgrößen)
Die Verteilungsfunktion F(k) summiert (kumuliert) dazu die Wahrscheinlichkeiten der Werte von $X$, die kleiner oder gleich k sind.
Beispiel
Verteilungsfunktion einer endlichen Zufallsgröße
Die Zufallsgröße $X$ mit der folgendenden Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| $\large k$ | 1 | 2 | 5 |
| $\large P(X=k)$ | 0,2 | 0,7 | 0,1 |
hat diese Verteilungsfunktion:
$ \begin{equation} F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & falls\; x \in ]-\infty;1[ \\ 0,2 & falls\; x \in [1;2[ \\ 0,9 &falls\; x \in [2;5[ \\ 1 & falls\; x \geq 5 \end{array} \right. \end{equation}$
Sie hat die Form einer Treppenfunktion mit 3 Sprungstellen, weil der Funktionswert von F sich jeweils beim Erreichen des nächsten Wertes von $X$, um dessen Wahrscheinlichkeit erhöht. Für Werte, die größer oder gleich dem maximalen Wert von $X$ sind hat $F(x)$ den Wert 1.
Beispiel
Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgröße
Die stetige Zufallsgröße $X$ ist gleichverteilt über dem Intervall $[1;5]$. Die zugehörige Dichte $f(x)$ und Verteilungsfunktion $F(x)$ sind:
$ \begin{equation} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & falls\; x \in ]-\infty;1[ \\ 0,25 & falls\; x \in [1;5] \\ 0 & falls \; x > 5 \end{array} \right. \end{equation}$
$ \begin{equation} F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & falls\; x \in ]-\infty;1[ \\ 0,25 \cdot (x - 1) & falls\; x \in [1;5] \\ 1 & falls \; x > 5 \end{array} \right. \end{equation}$
Merke
Eigenschaften von Verteilungsfunktionen.
1. $ \large F(x) \in [0 ,1] $
2. $ \large \lim_{x \rightarrow - \infty} F(x) = 0 $
3. $ \large \lim_{x \rightarrow + \infty} F(x) = 1 $
4. $\large F(x) $ ist monoton wachsend.
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