Verteilungsfunktion
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Die Verteilungsfunktion F einer Zufallsgröße $X$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass nur Werte bis zu einer bestimmten Größe angenommen werden.
$ \large \bf F(x) = P( X \leq x ) = \sum_{x_i \leq x } f(x_i) $ (für endliche Zufallsgrößen)
$ \large \bf F(x) = P ( X \leq x ) = \int_{- \infty}^x f(t) dt $ (für stetige Zufallsgrößen)
Die Verteilungsfunktion F(k) summiert (kumuliert) dazu die Wahrscheinlichkeiten der Werte von $X$, die kleiner oder gleich k sind.
Beispiel
Verteilungsfunktion einer endlichen Zufallsgröße
Die Zufallsgröße $X$ mit der folgendenden Wahrscheinlichkeitsverteilung.
| $\large k$ | 1 | 2 | 5 |
| $\large P(X=k)$ | 0,2 | 0,7 | 0,1 |
hat diese Verteilungsfunktion:
$ \begin{equation} F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & falls\; x \in ]-\infty;1[ \\ 0,2 & falls\; x \in [1;2[ \\ 0,9 &falls\; x \in [2;5[ \\ 1 & falls\; x \geq 5 \end{array} \right. \end{equation}$
Sie hat die Form einer Treppenfunktion mit 3 Sprungstellen, weil der Funktionswert von F sich jeweils beim Erreichen des nächsten Wertes von $X$, um dessen Wahrscheinlichkeit erhöht. Für Werte, die größer oder gleich dem maximalen Wert von $X$ sind hat $F(x)$ den Wert 1.
Beispiel
Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgröße
Die stetige Zufallsgröße $X$ ist gleichverteilt über dem Intervall $[1;5]$. Die zugehörige Dichte $f(x)$ und Verteilungsfunktion $F(x)$ sind:
$ \begin{equation} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & falls\; x \in ]-\infty;1[ \\ 0,25 & falls\; x \in [1;5] \\ 0 & falls \; x > 5 \end{array} \right. \end{equation}$
$ \begin{equation} F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & falls\; x \in ]-\infty;1[ \\ 0,25 \cdot (x - 1) & falls\; x \in [1;5] \\ 1 & falls \; x > 5 \end{array} \right. \end{equation}$
Merke
Eigenschaften von Verteilungsfunktionen.
1. $ \large F(x) \in [0 ,1] $
2. $ \large \lim_{x \rightarrow - \infty} F(x) = 0 $
3. $ \large \lim_{x \rightarrow + \infty} F(x) = 1 $
4. $\large F(x) $ ist monoton wachsend.
| k | 2 | 6 | 8 | 14 |
| P(X=k) | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0,4 |
Hinweis:
Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.
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